Mỗi ngày một tính chất hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Shini Chan hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5,-7) , M là điểm sao cho$\ \overrightarrow {3MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 .$
Điểm C thuộc đường thẳng $\ {d_1}:x - y + 4 = 0.$. Đường thẳng đi qua D và M là $\ 7x - 67 - 57 = 0.$. Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ âm.
Giải:

Gọi N là giao điểm của AC và DM.
Dễ dàng chứng minh tam giác ANM đồng dận với CND.
$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AN}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{AB}}\\
\overrightarrow {3MA}  + \overrightarrow {MB}  = \vec 0
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{AN}}{{CN}} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AC} .$

Gọi C(c;c+4) khi đó: $\ N\left( {\frac{{c + 20}}{5};\frac{{c - 24}}{5}} \right) \in {d_2}:7x - 6y - 57 = 0.$
$\  \Rightarrow 7\frac{{c + 20}}{5} - 6\frac{{c - 24}}{5} - 57 = 0 \Leftrightarrow c = 1 \Leftrightarrow C\left( {1;5} \right).$
Do $\ M\left( {t;\frac{{7t - 57}}{6}} \right) \in {d_2} \Rightarrow B\left( {4t - 15;\frac{{14t - 51}}{3}} \right).$
$\ {\overrightarrow {AB}  = \left( {4t - 20;\frac{{14t - 30}}{3}} \right)\& \overrightarrow {CB}  = \left( {4t - 16;\frac{{14t - 66}}{3}} \right)}.$
$\  \Rightarrow 17{t^2} - 132t + 243 = 0\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  = 0} \right).$
$\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3 \Rightarrow B\left( { - 3; - 3} \right)\\
t = \frac{{81}}{{17}} \Rightarrow B\left( {\frac{{69}}{{17}};\frac{{89}}{{17}}} \right)\left( L \right)
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 3; - 3} \right).$