Lượng giác hoá trong chứng minh BĐT.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chuối Shady hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z=xyz. CMR:$\ xy + yz + zx \ge 3 + \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1}  + \sqrt {{z^2} + 1} .$
Giải:
Trước hết thầy chứng minh lại cho con công thức:
"Nếu A, B, C là các góc của tam giác ABC thì: tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC"
Thật vậy, $\ \tan C = \tan \left[ {\pi  - \left( {A + B} \right)} \right] =  - \tan \left( {A + B} \right) =  - \frac{{\tan \,A + \tan B}}{{1 - \tan \,A\,\tan B}} = \frac{{\tan \,A + \tan B}}{{\tan \,A\,\tan B - 1}}.$
$\  \Leftrightarrow \tan C\left( {\tan \,A\,\tan B - 1} \right) = \tan \,A + \tan B \Leftrightarrow \tan \,A + \tan B + \tan C = \tan A\,.tanB.\tan C.$

Áp dụng vào bài toán, do $\ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = xyz\\ x,y,z > 0 \end{array} \right. \Rightarrow$ nên ta đặt:
$\ \left\{ \begin{array}{l} x = \tan \,A\\ y = \tan B\\ z = \tan C \end{array} \right. \Rightarrow \tan \,A\tan B + \tan B\tan C + \tan C\,\tan \,A \ge 3 + \frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}}\left( 1 \right).$
$\ \begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{\sin \,A\,\sin B}}{{\cos A\cos B}} + \frac{{\sin \,B\,\sin C}}{{\cos B\cos C}} + \frac{{\sin \,C\,\sin A}}{{\cos C\,\cos A}} \ge \frac{{3\cos A\cos B\cos C + \cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\,\cos A}}{{\cos A\cos B\cos C}}\\  \Leftrightarrow \sin \,A\,\sin B\cos C\, + \cos A\sin \,B\,\sin C + \sin \,C\,\sin A\cos B\\  \ge 3\cos A\cos B\cos C + \cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\,\cos A\\  \Leftrightarrow \cos C\left( {\sin \,A\,\sin B - \cos A\cos B} \right) + \cos A\left( {\sin \,B\,\sin C - \cos B\cos C} \right) + \cos C\left( {\sin \,C\,\sin A - \cos C\,\cos A} \right)\\  \ge \cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\,\cos A\\  \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C \ge \cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\,\cos A\\  \Leftrightarrow 2{\cos ^2}A + 2{\cos ^2}B + 2{\cos ^2}C \ge 2\cos A\cos B + 2\cos B\cos C + 2\cos C\,\cos A\left( 2 \right) \end{array}.$
Điều này hoàn toàn đúng do theo Côsi ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l} {\cos ^2}A + {\cos ^2}B \ge 2\cos A\cos B\\ {\cos ^2}B + {\cos ^2}C \ge \cos B\cos C\\ {\cos ^2}C + {\cos ^2}A \ge \cos C\,\cos A \end{array} \right.$
Vậy do (2) đúng nên (1) luôn đúng. Vậy BĐT được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\ A = B = C = {60^0} \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 3 .$