Giải chi tiết đề thi thử ĐH số 2 - Báo THTT số 436 tháng 10/2013.

ĐỀ CHÍNH THỨC

I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số $\ y =  - {x^3} + 3{x^2} - 2,\,\left( C \right).$

    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).

    2. Xác định m để đường thẳng $\ \Delta :\,y = m\left( {2 - x} \right) + 2$ cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt A(2,2), B, C 

         sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình: $\ cos\,3x + \sin \,2x - 2\sin \,x - cos\,x + 1 = 0.$

Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4{x^3} - 3x + \left( {y - 1} \right)\sqrt {2y + 1}  = 0}\\
{2{x^2} + x + \sqrt { - y\left( {2y + 1} \right)}  = 0}
\end{array}} \right.$

Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân: $\ I = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\log }_2}\left( {3\sin \,x + cos\,x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}} dx.$
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Câu 6. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\ P = {\left( {xy + yz + 2zx} \right)^2} - \frac{8}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - xy - yz - 2}}.$
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB=AD<CD, điểm B(1,2), đường thẳng BD có phương trình y=2. Biết đường thẳng (d): 7x-y-25=0 cắt các đoạn thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M, N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác của góc MBC. Tìm điểm D có hoành độ dương.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4,0,0) và M(6,3,1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và M sao cho (P) cắt trục Oy, Oz lần lượt tại B, C và thể tích tứ diện OABC bằng 4.
Câu 9.a (1,0 điểm). Giải phương trình: $\ 2\log \left( {{x^2} - 1} \right) = \log {\left( {x + 1} \right)^4} + \log {\left( {x - 2} \right)^2}.$
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có phương trình $\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5$ và đường thẳng BC đi qua điểm $\ \left( {\frac{7}{2};2} \right).$ Xác định tọa độ điểm A.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,-1), B(1,1,2) và C(-1,2,-1) và mặt phẳng (P) có phương trình $\ x - 2y + 2z + 1 = 0.$ Mặt phẳng $\ \left( \alpha  \right)$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB=2IC. Viết phương trình mặt phẳng $\ \left( \alpha  \right).$
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn $\ \left( {1 - 3i} \right)z$ là số thực và $\ \left| {\overline z  - 2 + 5i} \right| = 1.$

              --------------------Hết------------------

GIẢI

Câu 1.1 Các em tự khảo sát và vẽ đồ thị nhé.

Câu 1.2 Hoành độ giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của PT:
$ - {x^3} + 3{x^2} - 2 = m\left( {2 - x} \right) + 2 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( { - {x^2} + x + m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right).g\left( x \right) = 0$
Để ∆ cắt (C) tại 3 điểm A(2;2), B và C phân biệt thì: $\left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} > 0\\
g\left( 2 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4m + 9 > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right.\left( * \right)$

Kiến thức giải toán về phương trình đường thẳng trong KG Oxyz.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
$1.$ Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
Đường thẳng $d$ đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ có :
- Phương trình tham số của $d: \begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\z=z_0+ct\end{cases} (t \in \mathbb{R}) $
- Phương trình chính tắc của $d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} (abc \ne 0)$

"Nghề giáo viên - Nghề đi tìm sự thật - Sự thật thời học sinh"

Trong một tiết học năm ngoái,  tôi vô tình xem được một bài hát, bài hát bằng tiếng Anh, được thực hiện bởi nhóm học sinh cuối cấp ở nước ngoài...Cậu học trò của tôi tỏ ra khá thích thú với bài hát đó, bởi lẽ cậu thi khối D, khả năng nghe và đọc tiếng Anh thì khỏi bàn.

Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {x^2} = 2\sqrt {{{\left( {x - {y^2}} \right)}^3}} \,\,\,\left( 1 \right)\\ 76{x^2} - 20{y^2} + 2 = \sqrt[3]{{4x\left( {8x + 1} \right)}}\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Đề bài: (Nhạy bén trong phân tích, làm xuất hiện biểu thức giống nhau)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {x^2} = 2\sqrt {{{\left( {x - {y^2}} \right)}^3}} \,\,\,\left( 1 \right)\\
76{x^2} - 20{y^2} + 2 = \sqrt[3]{{4x\left( {8x + 1} \right)}}\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Ta có: $\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^3} + x\left( {x - {y^2}} \right) = 2\sqrt {{{\left( {x - {y^2}} \right)}^3}} \,\,.$

Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + y + 1} + 1 = 4{\left( {x + y} \right)^2} + \sqrt {3\left( {x + y} \right)} \,\,\left( 1 \right)\\ \sqrt {5{x^3} - 1} - \sqrt[3]{{2y}} + x = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Đề bài: (Tư duy, lập luận để giải toán có căn cứ hơn)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + y + 1}  + 1 = 4{\left( {x + y} \right)^2} + \sqrt {3\left( {x + y} \right)} \,\,\left( 1 \right)\\
\sqrt {5{x^3} - 1}  - \sqrt[3]{{2y}} + x = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Ta có: $\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow a{\left( {x + y + 1} \right)^2} + b\left( {x + y + 1} \right) + \sqrt {x + y + 1}  = 9c{\left( {x + y} \right)^2} + 3d\left( {x + y} \right) + \sqrt {3\left( {x + y} \right)} .$
$\  \Leftrightarrow \sqrt {x + y + 1}  + \left( {a + b} \right) = \left( {9c - a} \right){\left( {x + y} \right)^2} - \left( {2a + b - 3d} \right)\left( {x + y} \right) + \sqrt {3\left( {x + y} \right)} .$

Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {2^{3y\sqrt {y - \frac{1}{x}} + 2}}\left( {1 - {2^{x - y + 1}}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{y} + 2} \right) = 1 + {\log _3}\sqrt {y - \frac{1}{x}} \,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Đề bài: (Một bài trông khá phức tạp nhưng gỡ dần dần, thấy cũng hay)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {2^{3y\sqrt {y - \frac{1}{x}}  + 2}}\left( {1 - {2^{x - y + 1}}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{y} + 2} \right) = 1 + {\log _3}\sqrt {y - \frac{1}{x}} \,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Điều kiện: $\ \left\{ \begin{array}{l}
y \ge \frac{1}{x}\\
x,y \ne 0
\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\\ 3xy = x + y + 1 \end{array} \right.\left( * \right).$

Đề bài: (Một bài dễ - nhưng đánh giá cao ý tưởng)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\\
3xy = x + y + 1
\end{array} \right.\left( * \right).$
Giải:
Ta có: $\ \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\\
4xy = xy + x + y + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\\
4xy = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\\
\frac{x}{{y + 1}}.\frac{y}{{x + 1}} = \frac{1}{4}
\end{array} \right.$

Bài HHKG khá hay! - Trích đề thi thử số 1 - Tạp chí THTT - Số 435/T9.2013

Đề bài: (Đề thi thử số 1 - Tạp chí THTT - Số 435/T9.2013)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình vuông tại B và $\ \widehat {ACB} = 2\widehat {BAC}.$ Các đường trung tuyến BB', phân giác trong CC'. Các mặt phẳng (SBB'), (SCC') cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SB'C') với đáy bằng $\ {60^0},\,B'C' = a.$ Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm tam giác SBC đến đường thẳng B'C' theo a.

Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} {x^3} = \sqrt {4 - {x^2}} + 2\sqrt y \\ 3{x^4} + 4y = 2x\sqrt y \left( {{x^2} + 3} \right) \end{array} \right.,\,\left( {x,y \in R} \right).$

Đề bài: (Đề thi thử ĐH số 1 - Báo THTT số 435/T9.2013)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = \sqrt {4 - {x^2}}  + 2\sqrt y \\
3{x^4} + 4y = 2x\sqrt y \left( {{x^2} + 3} \right)
\end{array} \right.,\,\left( {x,y \in R} \right).$
Giải:
HPT $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt y  = {x^3} - \sqrt {4 - {x^2}} \\
3{x^4} + {\left( {{x^3} - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)^2} = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - x\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\left( * \right)
\end{array} \right.$

Chứng minh rằng: $\ {2^{2\sin \,x}} + {2^{\tan \,x}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}},\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$

Đề bài: (Bài bên Thi thử ĐH)
Chứng minh rằng: $\ {2^{2\sin \,x}} + {2^{\tan \,x}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}},\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:$\ {2^{2\sin \,x}} + {2^{\tan \,x}} \ge 2\sqrt {{2^{2\sin \,x}}{{.2}^{\tan \,x}}}  = {2^{\frac{{2\sin \,x + \tan \,x}}{2} + 1}}.$

Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} - 8x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2} = 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} \,\,\left( 1 \right)\\ {x^2} + 2{y^2} = 4x - 8y - 6\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Đề bài: (Bài toán trên Yêu Toán Học)
Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} - 8x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} \,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} + 2{y^2} = 4x - 8y - 6\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Lấy PT (1) - PT (2) ta được:
$\ 2{x^2} - 4x + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = 2{y^2} + 8y + 6 + 2\left( {y + 2} \right)\sqrt {{y^2} + 4y + 5} .$

Giải phương trình $\ {\log _2}\left( {1 + \sqrt[3]{x}} \right) = {\log _7}x.$

Đề bài: Giải phương trình $\ {\log _2}\left( {1 + \sqrt[3]{x}} \right) = {\log _7}x.$
Giải:
Điều kiện: x > 0.
Đặt $\ {\log _2}\left( {1 + \sqrt[3]{x}} \right) = {\log _7}x = t.$