Giải chi tiết đề thi thử ĐH số 2 - Báo THTT số 436 tháng 10/2013.

ĐỀ CHÍNH THỨC

I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số $\ y =  - {x^3} + 3{x^2} - 2,\,\left( C \right).$

    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).

    2. Xác định m để đường thẳng $\ \Delta :\,y = m\left( {2 - x} \right) + 2$ cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt A(2,2), B, C 

         sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình: $\ cos\,3x + \sin \,2x - 2\sin \,x - cos\,x + 1 = 0.$

Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4{x^3} - 3x + \left( {y - 1} \right)\sqrt {2y + 1}  = 0}\\
{2{x^2} + x + \sqrt { - y\left( {2y + 1} \right)}  = 0}
\end{array}} \right.$

Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân: $\ I = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\log }_2}\left( {3\sin \,x + cos\,x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}} dx.$
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Câu 6. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\ P = {\left( {xy + yz + 2zx} \right)^2} - \frac{8}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - xy - yz - 2}}.$
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB=AD<CD, điểm B(1,2), đường thẳng BD có phương trình y=2. Biết đường thẳng (d): 7x-y-25=0 cắt các đoạn thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M, N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác của góc MBC. Tìm điểm D có hoành độ dương.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4,0,0) và M(6,3,1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và M sao cho (P) cắt trục Oy, Oz lần lượt tại B, C và thể tích tứ diện OABC bằng 4.
Câu 9.a (1,0 điểm). Giải phương trình: $\ 2\log \left( {{x^2} - 1} \right) = \log {\left( {x + 1} \right)^4} + \log {\left( {x - 2} \right)^2}.$
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có phương trình $\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5$ và đường thẳng BC đi qua điểm $\ \left( {\frac{7}{2};2} \right).$ Xác định tọa độ điểm A.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,-1), B(1,1,2) và C(-1,2,-1) và mặt phẳng (P) có phương trình $\ x - 2y + 2z + 1 = 0.$ Mặt phẳng $\ \left( \alpha  \right)$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB=2IC. Viết phương trình mặt phẳng $\ \left( \alpha  \right).$
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn $\ \left( {1 - 3i} \right)z$ là số thực và $\ \left| {\overline z  - 2 + 5i} \right| = 1.$

              --------------------Hết------------------

GIẢI

Câu 1.1 Các em tự khảo sát và vẽ đồ thị nhé.

Câu 1.2 Hoành độ giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của PT:
$ - {x^3} + 3{x^2} - 2 = m\left( {2 - x} \right) + 2 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( { - {x^2} + x + m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right).g\left( x \right) = 0$
Để ∆ cắt (C) tại 3 điểm A(2;2), B và C phân biệt thì: $\left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} > 0\\
g\left( 2 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4m + 9 > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right.\left( * \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{k_B} = f'\left( {{x_1}} \right) =  - 3{x_1}\left( {{x_1} - 2} \right)\\
{k_C} = f'\left( {{x_2}} \right) =  - 3{x_2}\left( {{x_2} - 2} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow {k_B}.{k_C} = 9{x_1}{x_2}\left[ {{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right]$
Mặt khác theo Viet ta thấy: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = 1\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} =  - m - 2
\end{array} \right. \Rightarrow {k_B}.{k_C} = 9m\left( {m + 2} \right) = 9{\left( {m + 1} \right)^2} - 9 \ge 9$
$ \Rightarrow Min\,{k_B}.{k_C} =  - 9 \Leftrightarrow m =  - 1$(thỏa mãn (*)). Vậy m=-1 là giá trị cần tìm.
Câu 2. $PT \Leftrightarrow \left( {cos3x - \cos x} \right) + \sin 2x - 2\sin x + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow  - 2\sin 2x\sin x + \sin 2x - 2\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sin 2x + 1} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0$

• $\sin 2x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
• $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \left( {k \in Z} \right)\\x = \frac{{5\pi }}{6} + n2\pi \left( {n \in Z} \right)\end{array} \right.$

                                            Vậy $S=\left\{ -\frac{\pi }{4}+k\pi ;\,\frac{\pi }{6}+m2\pi ;\,\frac{5\pi }{6}+n2\pi ;\,k,m,n\in Z \right\}$ 
Câu 3. Điều kiện: $-\frac{1}{2}\le x,y\le 0$

$4{{x}^{3}}-3x=-4.\frac{2y+1}{4}\sqrt{\frac{2y+1}{4}}-\left( -3\sqrt{\frac{2y+1}{4}} \right)\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-3x=4{{\left( -\sqrt{\frac{2y+1}{4}} \right)}^{3}}-\left( -3\sqrt{\frac{2y+1}{4}} \right)$

Ta thấy khi $-\frac{1}{2}\le x;y\le 0\Rightarrow -\frac{1}{2}\le x;-\sqrt{\frac{2y+1}{4}}\le 0$ nên ta xét hàm đặc trưng:

$f\left( t \right) = 4{t^3} - 3t;\,t \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right] \Rightarrow f'\left( t \right) = 3\left( {2t + 1} \right)\left( {2t - 1} \right) < 0 \Rightarrow $f(t) nghịch biến trên$\left[ -\frac{1}{2};0 \right]$ 

$\Rightarrow f\left( x \right)=f\left( -\sqrt{\frac{2y+1}{4}} \right)\Leftrightarrow x=-\sqrt{\frac{2y+1}{4}}\Leftrightarrow -2x=\sqrt{2y+1}$

Thế vào PT (2) ta có:

${\left( {2{x^2} + x} \right)^2} = 4{x^3} - x\left( { - \frac{1}{2} \le x \le 0} \right) \Leftrightarrow x\left( {4{x^3} + x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {0; - \frac{1}{2}} \right),\left( { - \frac{1}{2};0} \right)$

                                      Vậy $S=\left\{ \left( 0;-\frac{1}{2} \right),\left( -\frac{1}{2};0 \right) \right\}$
Câu 4. Đặt $u = {\log _2}\left( {3\sin x + \cos x} \right);dv = \frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow du = \frac{{3\cos x - \sin x}}{{\ln 2\left( {3\sin x + \cos x} \right)}}dx;v =  - \cot x$\[ \Rightarrow I = \frac{3}{2} + \frac{1}{{\ln 2}}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3{{\cos }^2}x - \sin x\cos x}}{{3{{\sin }^2}x + \sin x\cos x}}dx = } \frac{3}{2} + \frac{J}{{\ln 2}}\]$J = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\cos 2x - \sin 2x + 3}}{{\sin 2x - 3\cos 2x + 3}}dx = } \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{6}{{\sin 2x - 3\cos 2x + 3}} - 1} \right)dx = } 6\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{\sin 2x - 3\cos 2x + 3}} - \frac{\pi }{4}} $.
Đặt $t=\cot \,x\Rightarrow dx=-\frac{dt}{{{t}^{2}}+1}$$ \Rightarrow J = 6\int_0^1 {\frac{{dt}}{{\left( {{t^2} + 1} \right)\left[ {\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{3\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{1 + {t^2}}} + 3} \right]}}}  - \frac{\pi }{4}$$ = 3\ln \left( {\frac{4}{3}} \right) - \frac{\pi }{4} \Rightarrow I = \frac{3}{2} + \frac{3}{{\ln 2}}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right) - \frac{\pi }{{4\ln 2}}$
Câu 5. 

- Áp dụng công thức tỷ số thể tích ta có: 
        $\frac{{{V_{S.BCM}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SB}}{{SB}}.\frac{{SC}}{{SC}}.\frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2}$
Trong (SAB) dựng $SH\bot AB\left( H\in AB \right)$ 
Khi đó: H là trung điểm của AB (Do ∆SAB cân ở S)\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\
\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\
SH \bot AB\left( {H \in AB} \right)
\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \equiv \left( {BCD} \right)\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{h_{S.BCD}} = SH}\\
{{B_{S.BCD}} = {S_{BCD}}}
\end{array}} \right.\]
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M \in \left( {ABM} \right) \cap \left( {SCD} \right)}\\
{AB \subset \left( {ABM} \right),{\kern 1pt} CD \subset \left( {SCD} \right)}\\
{AB{\kern 1pt} //{\kern 1pt} CD}
\end{array}} \right.$$\Rightarrow $ Trong (SCD) dựng $MN//CD\left( N\in SC \right)$$\Rightarrow MN=\left( ABM \right)\cap \left( SCD \right)$(*)
$MS=MD;\,MN//CD\Rightarrow NS=NC\Rightarrow MN//=\frac{1}{2}CD=AH\Rightarrow \square AMNH$ là hình bình hành $\Rightarrow AM//HN$
Ta lại có: $AM \bot BD\left( {gt} \right);\,AM//HN \Rightarrow HN \bot BD\left( 1 \right)$ mà $SH \bot \left( {ABCD} \right);BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BD\left( 2 \right)$
         Từ (1) và (2) ta được $BD\bot \left( SHC \right)\Rightarrow HC\bot BD\left( * \right)$

- Trong (ABCD), dễ thấy K là trọng tâm tam giác ABC nên  

$\  \Rightarrow B{K^2} + H{K^2} = H{B^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}BO} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{3}HC} \right)^2} = H{B^2}.$

$\  \Leftrightarrow \frac{{B{D^2}}}{9} + \frac{{H{C^2}}}{9} = H{B^2} \Leftrightarrow \frac{{B{C^2} + 4H{B^2}}}{9} + \frac{{H{B^2} + B{C^2}}}{9} = H{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 2H{B^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow BC = a\sqrt 2 .$

- Gọi P là trung điểm của CD$ \Rightarrow SP \cap MN = I$(Trung điểm của SP)(a).

Mặt khác, $SP \bot CD\left( {SC = SD} \right);MN//CD \Rightarrow MN \bot SP$nhưng do (*) nên $SP\bot \left( ABNM \right)\supset HI\Rightarrow SP\bot HI\left( b \right)$

Từ (a) và (b) ta thấy ∆SHP cân ở S nên$SH = HP = BC = a\sqrt 2  \Rightarrow {V_{S.BCM}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.a\sqrt 2 .\frac{1}{2}.a\sqrt 2 .2a = \frac{{{a^3}}}{3}$

Ta có: ${V_{S.BCM}} = \frac{1}{3}d\left( {M \to \left( {SBC} \right)} \right).{S_{SBC}} \Leftrightarrow d\left( {M \to \left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.BCM}}}}{{{S_{SBC}}}}$

Mặt khác: $SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}}  = a\sqrt 3 ;BC = a\sqrt 2 ;SB \bot BC$

$ \Rightarrow {S_{SBC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow d\left( {M \to \left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3.\frac{{{a^3}}}{3}}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Câu 6. Ta có: $P={{\left( xy+yz+2zx \right)}^{2}}-\frac{8}{xy+yz+2zx-1}=f\left( A \right)={{A}^{2}}-\frac{8}{A-1}$

- Do $A+1={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+xy+yz+2zx$

$ = {y^2} + 2.y.\frac{{x + z}}{2} + \frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{4} + \frac{3}{4}\left( {{x^2} + {z^2} + 2xz} \right) = {\left( {y + \frac{{x + z}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{\left( {x + z} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow A \ge  - 1$

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1;\,\,x + z = 0;\,2y + x + z = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \vee \left( {x;y;z} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};0; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$

- Mặt khác ta có: $\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + \frac{1}{2}{y^2} \ge 2xy\sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}}  = \left( {\sqrt 3  - 1} \right)xy$

$\left( {2 - \sqrt 3 } \right){z^2} + \frac{1}{2}{y^2} \ge 2yz\sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}}  = \left( {\sqrt 3  - 1} \right)yz$

$\left( {\sqrt 3  - 1} \right){x^2} + \left( {\sqrt 3  - 1} \right){z^2} \ge 2zx\left( {\sqrt 3  - 1} \right)$

$ \Rightarrow 1 = {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \left( {\sqrt 3  - 1} \right)A \Leftrightarrow A \le \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}$

- Ta xét hàm: $f\left( A \right) = {A^2} - \frac{8}{{A - 1}}\left( {A \in \left[ { - 1;\frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}} \right]} \right)$

$ \Rightarrow f'\left( A \right) = 2A + \frac{8}{{{{\left( {A - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {A + 1} \right)\left( {{A^2} - 3A + 4} \right)}}{{{{\left( {A - 1} \right)}^2}}} \ge 0 \Rightarrow f\left( A \right)$đồng biến trên$\left[ -1;\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right]$

 Khi đó: $P \ge f\left( { - 1} \right) = 5 \Rightarrow Min\,P = 5 \Leftrightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \vee \left( {x;y;z} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};0; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$
Chú ý: Thực ra bài này không cần thiết phải tìm Max A bởi vì Max A không sử dụng đến trong việc tìm Min f(A)...Đạo hàm f'(A) luôn dương khi chỉ cần MinA=-1.
Nhưng mình vẫn thêm phần này để xử lý được cả những bài mà đạo hàm f'(A) phức tạp hơn.
Câu 7a. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ

B xuống DC và MN. Ta có:

$\widehat{ABM}=\widehat{DBN}$ (cùng cộng$\widehat{MBD}$bằng 45⁰)
$\widehat{CBH}=\widehat{DBN}$ (cùng cộng$\widehat{NBH}$bằng 45⁰)
$\widehat{MBD}=\widehat{NBH}$(cùng cộng$\widehat{DBN}$bằng 45⁰)
$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{CBH}\Rightarrow \Delta ABM=CBH$
$\Rightarrow BM=BC\Rightarrow $ BN là đường trung trực của CM
$ \Rightarrow \widehat {KNB} = \widehat {HNB} \Rightarrow \Delta KNB = \Delta HNB$
$ \Rightarrow BK = BH = BA.$
Mà $BK = d\left( {B \to MN} \right) = \frac{{\left| {7.1 - 2 - 25} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + 1} }} = 2\sqrt 2 $
$ \Rightarrow BD = BK\sqrt 2  = 4$
Gọi D(x;2) (x>0) khi đó: $16=B{{D}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x=5\Rightarrow D\left( 5;2 \right)$
Câu 8a. Do (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz nên ta gọi A(4;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).
Khi đó: $\left( P \right):\frac{x}{4}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}$ .
Thể tích tứ diện OABC là: $V=\frac{1}{6}.4\left| bc \right|=4\Leftrightarrow bc=6\,\vee \,bc=-6\left( * \right)$
Do M thuộc (P) nên: $\frac{6}{4}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}=1\left( ** \right)$
Kết hợp (*) và (**) và giải hệ PT ta nhận được 2 PT của (P) là:
          $\left( {{P}_{1}} \right):3x+2y-12z-12=0;\,\,\left( {{P}_{2}} \right):3x-4y-12z-12=0$
Câu 9a. Điều kiện: $x<-1;\,x>1$
PT$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}-{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right]=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}$
Nếu $x-1={{x}^{2}}-x-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-1=0\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\left( tm \right),\,x=1-\sqrt{2}>-1\left( L \right)$
Nếu$1-x={{x}^{2}}-x-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}\left( tm \right)$
Vậy $S=\left\{ 1+\sqrt{2};\pm \sqrt{3} \right\}$
Câu 7b. Do ∆ABC đều nên nếu gọi M là trung điểm của BC thì A, O(tâm đường tròn nội tiếp) và M thẳng hàng
$\Rightarrow OA=2OM=2r=2\sqrt{5}\Rightarrow $ Gọi A(a;b) ta có: ${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=20\left( 1 \right)$ 
Mặt khác, $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AO}\Leftrightarrow {{x}_{M}}-a=\frac{3}{2}\left( 1-a \right);\,{{y}_{M}}-b=\frac{3}{2}\left( 2-b \right)\Leftrightarrow M\left( \frac{3}{2}-\frac{a}{2};3-\frac{b}{2} \right)$ 
Do BC đi qua $E\left( \frac{7}{2};2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AO}.\overrightarrow{ME}=0\Leftrightarrow \left( a+4 \right)\left( a-1 \right)+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=0\left( 2 \right)$

Lúc này tọa độ A là nghiệm của hệ PT tạo bởi (1) và (2) và ta có: $A\left( -3;0 \right)\,\vee A\left( -3;4 \right)$

Câu 8b. Ta thấy$IB=2IC\Rightarrow \overrightarrow{IB}=\pm 2\overrightarrow{IC}\Rightarrow I\left( -3;3;-4 \right)\vee I\left( -\frac{1}{3};\frac{5}{3};0 \right)$ 

- Nếu $I\left( -\frac{1}{3};\frac{5}{3};0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( -\frac{4}{3};\frac{2}{3};1 \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}=\left[ \overrightarrow{AI},{{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}} \right]=\left( -\frac{10}{3};-\frac{11}{3};-2 \right)\uparrow \uparrow \left( 10;11;6 \right)$ 

Khi đó phương trình mặt phẳng cần lập là: 

$\ \left( {{\alpha }_{1}} \right):10\left( x-1 \right)+11\left( y-1 \right)+6\left( z+1 \right)=0$ hay $\ \left( {{\alpha }_{1}} \right):10x+11y+6z-15=0.$

- Nếu $I\left( -3;3;-4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( -4;2;-3 \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}=\left[ \overrightarrow{AI},{{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}} \right]=\left( 2;-5;-6 \right)$ 

Khi đó phương trình mặt phẳng cần lập là: 

$\ \left( {{\alpha }_{2}} \right):2\left( x-1 \right)-5\left( y-1 \right)-6\left( z+1 \right)=0$ hay $\ \left( {{\alpha }_{2}} \right):2x-5y-6z-3=0.$

Câu 9b. Gọi số phức cần tìm là$z=a+bi\left( a,b\in R \right)$ 

Do $\left( 1-3i \right)z=\left( a+3b \right)+\left( b-3a \right)i\in R\Rightarrow b-3a=0\Leftrightarrow b=3a\left( 1 \right)$ 

Mà$1=\left| \overline{z}-2+5i \right|=\left| \left( a-2 \right)+\left( 5-b \right)i \right|\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( 5-b \right)}^{2}}=1\left( 2 \right)$ 

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: $\left( a;b \right)=\left( 2;6 \right)\,\vee \left( a;b \right)=\left( \frac{7}{5};\frac{21}{5} \right)$ 

Vậy có 2 số phức z thỏa mãn là: ${{z}_{1}}=2+6i\,\,\,\vee \,\,{{z}_{2}}=\frac{7}{5}+\frac{21}{5}i$ 

-------------------Hết-----------------

Người làm đáp án                  

Người Lái Đò Online - Trịnh Hào Quang