Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {x^2} = 2\sqrt {{{\left( {x - {y^2}} \right)}^3}} \,\,\,\left( 1 \right)\\ 76{x^2} - 20{y^2} + 2 = \sqrt[3]{{4x\left( {8x + 1} \right)}}\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Đề bài: (Nhạy bén trong phân tích, làm xuất hiện biểu thức giống nhau)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {x^2} = 2\sqrt {{{\left( {x - {y^2}} \right)}^3}} \,\,\,\left( 1 \right)\\ 76{x^2} - 20{y^2} + 2 = \sqrt[3]{{4x\left( {8x + 1} \right)}}\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Giải:
Ta có: $\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^3} + x\left( {x - {y^2}} \right) = 2\sqrt {{{\left( {x - {y^2}} \right)}^3}} \,\,.$

Xét x = 0 thì y = 0, thế vào (2) ta thấy vô lý. Vậy $\ x \ne 0$. Ta chia cả 2 vế cho $\ {x^3}$ được:
$\ \;2{\left( {\frac{{\sqrt {x - {y^2}} }}{x}{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \right)^3} - {\left( {\frac{{\sqrt {x - {y^2}} }}{x}} \right)^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {x - {y^2}} }}{x} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = x - {x^2}.$
Thế vào PT (2) ta được $\ HPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 96{x^2} - 20x + 2 = \sqrt[3]{{4x\left( {8x + 1} \right)}}\,\,\left( * \right)\\ {y^2} = x - {x^2} \ge 0\left( {x \in \left[ {0;1} \right]} \right) \end{array} \right.$
$\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {V{P_{\left( * \right)}} = \frac{3}{2}{{\left( {8x - 1} \right)}^2} + 4x + \frac{1}{2} \ge 4x + \frac{1}{2}}\\ {VT = \sqrt[3]{{1.8x.\frac{{8x + 1}}{2}}} \le \frac{{1 + 8x + \frac{{8x + 1}}{2}}}{3} = 4x + \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow VT = VP \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {8x - 1 = 0}\\ {1 = 8x = \frac{{8x + 1}}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{8}.$

                                Vậy HPT có nghiệm $\ S = \left\{ {\left( {\frac{1}{8};\frac{7}{{64}}} \right)} \right\}.$