Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {2^{3y\sqrt {y - \frac{1}{x}} + 2}}\left( {1 - {2^{x - y + 1}}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{y} + 2} \right) = 1 + {\log _3}\sqrt {y - \frac{1}{x}} \,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Đề bài: (Một bài trông khá phức tạp nhưng gỡ dần dần, thấy cũng hay)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {2^{3y\sqrt {y - \frac{1}{x}}  + 2}}\left( {1 - {2^{x - y + 1}}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{y} + 2} \right) = 1 + {\log _3}\sqrt {y - \frac{1}{x}} \,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Điều kiện: $\ \left\{ \begin{array}{l}
y \ge \frac{1}{x}\\
x,y \ne 0
\end{array} \right.$

Ta có: $\ \left( 2 \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{y} + 2} \right) = {\log _3}3\sqrt {y - \frac{1}{x}}  \Leftrightarrow {x^2} + 2y - 1 = 3y\sqrt {y - \frac{1}{x}}.$
Thế vào PT (1) ta có:
$\ {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {2^{{x^2} + 2y + 1}}\left( {1 - {2^{x - y + 1}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 1}}\left( {{2^{2x}} + {2^{2y}} - {2^{x + y + 1}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2^{2y}} = {2^{x + y + 1}}.$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $\ {2^{2x}} + {2^{2y}} \ge 2\sqrt {{2^{2\left( {x + y} \right)}}}  = {2^{x + y + 1}}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\ {2^{2x}} = {2^{2y}} \Leftrightarrow x = y.$
$\  \Rightarrow {x^2} + 2x - 1 = 3x\sqrt {x - \frac{1}{x}}  \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} + 2 = 3\sqrt {x - \frac{1}{x}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = \sqrt {x - \frac{1}{x}} \left( {t \ge 0} \right)\\
{t^2} - 3t + 2 = 0
\end{array} \right.$
$\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \sqrt {x - \frac{1}{x}}  = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)
\end{array} \right.\\
t = \sqrt {x - \frac{1}{x}}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {x;y} \right) = \left( {1 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\\
\left( {x;y} \right) = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
                              Vậy $\ S = \left\{ {\left( {\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right),\,\left( {1 \pm \sqrt 2 ;1 \pm \sqrt 2 } \right)} \right\}.$