Processing math: 100%

Thứ Sáu, 25 tháng 10, 2013

Kiến thức giải toán về phương trình đường thẳng trong KG Oxyz.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
Đường thẳng d đi qua M_0(x_0;y_0;z_0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}=(a;b;c) có :
- Phương trình tham số của d: \begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\z=z_0+ct\end{cases} (t \in \mathbb{R})
- Phương trình chính tắc của d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} (abc \ne 0)

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Đường thẳng d đi qua M_0(x_0;y_0;z_0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}=(a;b;c) và đường thẳng d' đi qua M'_0(x'_0;y'_0;z'_0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u'}=(a';b';c') . Khi đó:
+ dd' cùng nằm trong một mặt phẳng \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0 .
+ dd' cắt nhau \Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0\\ \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}.
+ d \parallel d' \Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]=\overrightarrow{0}\\ \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}.
+ d \equiv d' \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]=\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right]=\overrightarrow{0}
+ dd’ chéo nhau \Leftrightarrow\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]\overrightarrow{M_0M'_0}=\overrightarrow{0}
3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng.
Đường thẳng d đi qua M_0(x_0;y_0;z_0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}=(a;b;c) và mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}=(A;B;C) . Khi đó:
+ d cắt (P)\Leftrightarrow Aa+Bb+Cc \ne 0
+ d \parallel (P)\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D \ne 0 \end{cases}
+ d \subset (P)\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D = 0 \end{cases}
+ d \perp (P) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{n} \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}} \right]=\overrightarrow{0}
4. Góc giữa hai đường thẳng.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}=(a;b;c) và đường thẳng d' có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u'}=(a';b';c'). Gọi 0^\circ \le\phi \le 90^\circ là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:
\cos \phi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}} \right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{u'}|}=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}
5. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}=(a;b;c) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}=(A;B;C) . Gọi 0^\circ \le \psi \le 90^\circ là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta có:
\sin \psi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}} \right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{n}|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
6. Khoảng cách từ điểm M_1(x_1;y_1;z_1) đến đường thẳng \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} :
+ Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M_1 và vuông góc với \Delta.
- Tìm tọa độ giao điểm H của \Delta và mặt phẳng (Q) .
- d(M_1, \Delta)=M_1H .
+ Cách 2: Sử dụng công thức: d(M_1, \Delta)=\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{M_1M_0},\overrightarrow{u}} \right]} \right|}{|\overrightarrow{u}|}
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau \Delta đi qua M_0(x_0;y_0;z_0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} và đường thẳng \Delta' đi qua M'_0(x'_0;y'_0;z'_0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u'} .
+ Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa \Delta và song song với \Delta'.
- Tính khoảng cách từ M'_0 tới mặt phẳng (Q) .
- d(\Delta,\Delta')=d(M'_0,(Q)) .
+ Cách $2:\ d(\Delta ,\Delta ') = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\vec u'} \right].\overrightarrow {{M_0}{{M'}_0}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\vec u'} \right]} \right|}}

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng I: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
d :\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3} và mặt phẳng P : x - y - z -1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua A(1;1;-2) , song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d .
Lời giải :
Để tìm một VTCP của \Delta ta phải tìm hai VTPT không cùng phương của nó rồi tìm tích có hướng của hai vectơ này.
Như vậy, \overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[ {\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{P}}}\right]=(2;5;-3)
Trong đó \overrightarrow{u_{d}}=(2;1;3);\overrightarrow{n_{P}}=(1;-1;-1)
\Delta đi qua A(1;1;-2) và có VTCP \overrightarrow{u_{\Delta}}=(2;5;-3) nên có phương trình
\Delta : \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-3}
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1} và mặt phẳng P : x - y - z -1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(2;1;0) , cắt và vuông góc với \Delta.
Lời giải :
\overrightarrow{u_{\Delta}}=(2;1; -1) . Gọi H = d \cap \Delta.
Do H \in \Delta nên có thể giả sử H(1+ 2t;-1+ t;-t) \Rightarrow \overrightarrow{MH} = (2t -1;t - 2;-t).
\overrightarrow{MH} \perp \overrightarrow{u_{\Delta}} \Leftrightarrow 2(2t -1) + ( t- 2) - (-t ) = 0 \Leftrightarrow t=\frac{2}{3} \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{d}} = 3\overrightarrow{MH} = (1;-4;-2)
\Rightarrow d : \begin{cases}x=2+t \\ y= 1-4t\\z=-2t\end{cases}
Bài tập tương tự
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình:
\begin{cases}x = -t \\ y = -1+ 2t \\ z = 2 + t \end{cases} ( t \in \mathbb{R} ) và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 3 = 0 .Viết phương trình tham số của đường thẳng \Delta nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d).
Đáp số :\Delta: \begin{cases}x = 1+t \\ y =-3\\ z =1 + t \end{cases} ( t \in \mathbb{R} ).

Dạng II: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác.
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
d : \frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{2}
và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng \Delta song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).
Lời giải :
Đường thẳng (d) có PT tham số : \begin{cases}x=-1+3t \\ y=2-2t\\z=2+2t \end{cases}.
Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n} = (1; 3; 2)
Giả sử N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) \in d \Rightarrow \overrightarrow{MN}= (3t - 3;-2t;2t - 2)
Để MN \parallel (P) thì \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow 1.(-1+3t)+3.(2-2t)+2.(2+2t)=0\Leftrightarrow t = 7 \Rightarrow \overrightarrow{MN}= (18;-14;12)
Do \Delta \parallel MN nên chọn \overrightarrow{u_{\Delta}}= (9;-7;6)
Phương trình đường thẳng \Delta : \frac{x-2}{9}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z-4}{6}
Câu hỏi tương tự:
d : \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}, (P) : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M(2;2;4). Đáp số :\Delta : \frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-3}{1}

Không có nhận xét nào: