Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hắc Tử hỏi)
Cho hàm số: $\ y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\left( C \right).$Tìm các điểm trên Oy để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía 0x.
Giải:
Ta có: $\ y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.$
Gọi điểm M(0;m) thuộc Oy khi đó đường thẳng đi qua M có hệ số góc k có dạng (d): y=kx+m.
(d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = kx + m\\
k = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}
\end{array} \right.$ có nghiệm.
$\ \Rightarrow \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{x}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + m \Leftrightarrow g\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {2m - 3} \right)x + m - 2 = 0\left( * \right).$
Để tồn tại 2 tiếp tuyến thì: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{a_g} = m - 1 \ne 0\\
g\left( 1 \right) = - 7 \ne 0\\
\Delta {'_g} = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 7m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{2}{7}\left( 1 \right).$
Mặt khác, để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox thì (*) phải có 2 nghiệm trái dấu, nghĩa là:$\ {x_1}{x_2} < 0.$
Áp dụng ĐL Viet ta có: $\ {x_1}{x_2} = \frac{{m - 2}}{{m - 1}} < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 2\left( 2 \right).$
Kết hợp (1) và (2) ta được các điểm M nằm trên Oy và tung độ nằm trong khoảng (1;2)
