Đề bài: (Câu hỏi của bạn Micale Cat hỏi)
CMR $\ {\left( {\frac{{\sin \,x}}{x}} \right)^3} > cos\,x,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Giải:
Bất đẳng thức đã cho chuyển về:
$\dfrac{\sin x}{x} > (\cos x)^{\dfrac{1}{3}} \Leftrightarrow \sin x (\cos x)^{-\dfrac{1}{3}} x-x > 0$
Xét hàm số $f(x)= \sin x (\cos x)^{-\dfrac{1}{3}}$ x-x trên khoảng $\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right)$
$f’(x)=\cos ^{\dfrac{2}{3}} x+\dfrac{1}{3} \sin ^2 x+ \cos ^{-\dfrac{4}{3}} x -1.$
$f”(x) =\dfrac{4}{9} \sin ^3 x \cos ^{-\dfrac{7}{3}} x >0.$ Vì $x \in \left(0; \dfrac{\pi}{2} \right)$
$\rightarrow f’(x)$ đồng biến trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2} \right)$
$\rightarrow f’(x)>f’(o)>0$ nên f(x) đồng biến trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2} \right).$
$\rightarrow f(x)>f(0)=0.$
