Đề bài: (Câu hỏi của bạn Micale Cat hỏi)
CMR \ {\left( {\frac{{\sin \,x}}{x}} \right)^3} > cos\,x,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).
Giải:
Bất đẳng thức đã cho chuyển về:
\dfrac{\sin x}{x} > (\cos x)^{\dfrac{1}{3}} \Leftrightarrow \sin x (\cos x)^{-\dfrac{1}{3}} x-x > 0
Xét hàm số f(x)= \sin x (\cos x)^{-\dfrac{1}{3}} x-x trên khoảng \left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right)
f’(x)=\cos ^{\dfrac{2}{3}} x+\dfrac{1}{3} \sin ^2 x+ \cos ^{-\dfrac{4}{3}} x -1.
f”(x) =\dfrac{4}{9} \sin ^3 x \cos ^{-\dfrac{7}{3}} x >0. Vì x \in \left(0; \dfrac{\pi}{2} \right)
\rightarrow f’(x) đồng biến trên \left(0; \dfrac{\pi}{2} \right)
\rightarrow f’(x)>f’(o)>0 nên f(x) đồng biến trên \left(0; \dfrac{\pi}{2} \right).
\rightarrow f(x)>f(0)=0.
