Cho hàm số: $\ y = \frac{{2x}}{{x + 2}}.$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sao cho khoảng cách từ điểm I(-2;2) đến tiếp tuyến đó đạt Max.
Giải:
Ta có: $\ y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \Rightarrow $ Tiếp tuyến tại điểm $\ M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có dạng:
$\ y = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}} \Leftrightarrow \left( T \right):4x - {\left( {{x_0} + 2} \right)^2}y + 2x_0^2 = 0.$
Khi đó: $\ d\left( {I \to \left( T \right)} \right) = \frac{{\left| { - 8 - 2{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2} + 2x_0^2} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {{x_0} + 2} \right)}^4}} }} = \frac{{8\left| {{x_0} + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {{x_0} + 2} \right)}^4}} }}.$
Đặt: $\ t = \left| {{x_0} + 2} \right|\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d\left( {I \to \left( T \right)} \right) = f\left( t \right) = \frac{{8t}}{{\sqrt {{t^4} + 16} }}.$
$\ \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 8\sqrt {{t^4} + 16} - \frac{{16{t^4}}}{{\sqrt {{t^4} + 16} }} = 0 \Leftrightarrow 8\left( {16 - {t^4}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2.$
Lập bảng biến thiên cho hàm f(t):
Vậy $\ Max\,d\left( {I \to \left( T \right)} \right) = Max\,f\left( t \right) = 2\sqrt 2 .$
$\ \Leftrightarrow t = \left| {{x_0} + 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left( {{T_1}} \right):x - y = 0\\
{x_0} = - 4 \Leftrightarrow \left( {{T_2}} \right):x - y + 8 = 0
\end{array} \right.$
