Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chàng Xoăn hỏi)
CMR: Mọi đường thẳng (d) đi qua I(0,k) có hệ số góc bằng (-1) luôn cắt đồ thị hàm số $\ y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\left( C \right).$ tại 2 điểm E,F phân biệt. Tìm k để đoạn EF min.
Giải:
Theo đề bài ta thấy đường thẳng (d) có dạng: y = -x + k.
Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của PT:
$\ \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - x + k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne - 2\\
g\left( x \right) = {x^2} - \left( {k - 4} \right)x - \left( {2k - 1} \right) = 0
\end{array} \right.$ (*)
Để tồn tại 2 giao điểm phân biệt E, F thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -2, nghĩa là:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
g\left( { - 2} \right) \ne 0\\
{\Delta _g} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( { - 2} \right) = - 3 \ne 0\\
{\Delta _g} > {\left( {k - 4} \right)^2} + 4\left( {2k - 1} \right) = {k^2} + 12 \ge 12 > 0
\end{array} \right.$ (luôn đúng).
Vậy ta được điều phải chứng minh.
Lúc này gọi tọa độ của E và F lần lượt là:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
E\left( {{x_1}; - {x_1} + k} \right)\\
F\left( {{x_2}; - {x_2} + k} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow E{F^2} = 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right].$
Áp dụng ĐL Viet ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = k - 4\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - \left( {2k - 1} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow E{F^2} = 2\left[ {{{\left( {k - 4} \right)}^2} + 4\left( {2k - 1} \right)} \right] = 2\left( {{k^2} + 12} \right) \ge 24.$
Vậy $\ Min\,EF\, = \,2\sqrt 6 \, \Leftrightarrow k = 0.$
