HHGT liên quan đến đường tròn Euler.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Gly Ala Val hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1). Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của các đọan BA, BC và chân đường cao hạ từ B xuống cạnh AC có phương trình x²+(y+1)²=4. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Ta thấy ngay phương trình đường tròn đã cho chính là đường tròn Ơle đi qua 9 điểm:
- 3 trung điểm của 3 cạnh tam giác ABC.
- 3 chân đường cao xuất phát từ các đỉnh đến các cạnh đối diện của tam giác ABC.
- 3 trung điểm của các đoạn nối từ trực tâm đến các đỉnh của tam giác ABC.
Khi đó, gọi N là trung điểm của BC. Khi đó N thuộc đường tròn x²+(y+1)²=4.
Mặt khác, $\ \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {GA}  = -2\overrightarrow {GN}  \Rightarrow \exists V_{G\left( {1;1} \right)}^{k = -2}\left( N \right) = G\\
N \in {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\left( {I\left( {0; - 1} \right),R' = 2} \right)
\end{array} \right.$\[ \Rightarrow A,B,C \in \left( O \right):\left\{ \begin{array}{l}
R = 2R' = 4\\
\overrightarrow {GO}  = -2\overrightarrow {GI}  \Leftrightarrow I\left( {3;5} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ABC} \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 16\]

VỎ=Tìm điểm, LÕI=Tương giao.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hoả Long Natsu hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hầm số$\ y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\left( C \right).$Tìm trên (C) cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta :y = x - 1.$.
Giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua 2 điểm cần tìm. Do d vuông góc với $\Delta$ nên d:y = -x + m.
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của PT:$\ \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} =  - x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
g\left( {x,m} \right) = 2{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0
\end{array} \right.$

Chiêu "BẤT bí di TUYẾN"

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Drqm Sces hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)\[Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
x,y > 0\\
x + y = 1
\end{array} \right..\,\,Min\,P = \frac{x}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = ?\]Phân tích: 
Gặp bài toán rất đẹp thế này chúng ta có rất nhiều hướng giải, sau đây thầy sẽ phân tích các hướng và tính khả dụng của từng hướng đó:
- Hướng đi 1: Hướng này đa số được các bạn dùng nhờ tính đơn giản và dễ hiểu. Đó là việc rút x hoặc y từ điều kiện x + y = 1 và thế vào P xét hàm f(x) hay f(y) nhận được. Tuy nhiên, không phải mọi hàm số khi xét đều khả thi, đây là một trong số các hàm như vậy. Vì ở đây chứa nhiều điểm phức tạp: Tổng, các hàm phân thức, có chứa căn, không có quy luật căn...CANCEL.
- Hướng đi 2: Lượng giác hoá nhờ hệ thức x + y = 1. Việc này cũng được coi là quy về hàm một biến (biến góc) nhưng để biến đổi lượng giác và xét hàm lượng giác này cũng khá phức tạp vì tổng, các phân thức, chứa lượng giác, bậc cao...Chúng ta có thể giảm bậc nhưng lại đưa về hàm vô tỷ như hướng 1... CANCEL
- Hướng đi 3: Sử dụng PP chọn điểm rơi và cố gắng sử dụng các BĐT cổ điển (Cauchy, Cauchy-Schwarz). Cũng không thấy ổn, vì rằng rất khó tìm được lượng sử dụng thêm bớt và xuất hiện dấu hiệu sử dụng các BĐT trên...Thậm chí dễ dẫn đến xuất hiện dấu BĐT ngược chiều ở một bước nào đó... CANCEL.
- Hướng đi 4: Quy đồng lên, ép về tổng và tích của x và y, vận dụng x + y = 1 và đánh giá của xy để đưa về hàm f(t) trong đó t=xy. Nghe có vẻ dễ nhưng sẽ hơi dài và hàm f(t) nhận được xét nó không đơn giản đâu nhé, dù cho nó chỉ là một phân thức thôi nhưng tử và mẫu của nó thì lại là các hàm phức tạp nữa đấy...CANCEL.

Sử dụng liên tiếp BĐT Cauchy-Schwarz.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Thiện Tân Lê hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)\[Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
0 < a,b,c \in R\\
a + b + c = 1
\end{array} \right..\,CMR:\,\frac{a}{{a + 6bc}} + \frac{b}{{b + 6ca}} + \frac{c}{{c + 6ab}} \ge 1\left( * \right)\]
Giải:
\[V{T_{\left( * \right)}} = P = \frac{a}{{a + 6bc}} + \frac{b}{{b + 6ca}} + \frac{c}{{c + 6ab}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 6abc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 6abc}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 6abc}}\] Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

Nhận dạng tam giác - Một dạng bài tập rất hay!

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Gấu Trúc hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:$\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{\sin \left( {A - B} \right)}}{{\sin \left( {A + B} \right)}}.$
Giải:
Với dạng toán này các em phải sử dụng tốt 2 kĩ năng sau:
- Sử dụng tốt tất cả công thức lượng giác đã được học.
- Sử dụng tốt tất cả các hệ thức lượng trong tam giác thường tốt.