Nhận dạng tam giác - Một dạng bài tập rất hay!

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Gấu Trúc hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:$\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{\sin \left( {A - B} \right)}}{{\sin \left( {A + B} \right)}}.$
Giải:
Với dạng toán này các em phải sử dụng tốt 2 kĩ năng sau:
- Sử dụng tốt tất cả công thức lượng giác đã được học.
- Sử dụng tốt tất cả các hệ thức lượng trong tam giác thường tốt.
\[\begin{array}{l}
\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{\sin \left( {A - B} \right)}}{{\sin \left( {A + B} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{sin{\mkern 1mu} A{\mkern 1mu} cos{\mkern 1mu} B - sin{\mkern 1mu} B{\mkern 1mu} cos{\mkern 1mu} A}}{{sin{\mkern 1mu} A{\mkern 1mu} cos{\mkern 1mu} B - sin{\mkern 1mu} B{\mkern 1mu} cos{\mkern 1mu} A}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{\frac{{a.}}{{2R}}\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} - \frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\frac{{a.}}{{2R}}\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{\frac{1}{{2R}}\left( {a.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} - b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}}{{\frac{1}{{2R}}\left( {a.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2c}} - \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2c}}}}{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2c}} + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2c}}}} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2} - {b^2} - {c^2} + {a^2}}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2} + {b^2} + {c^2} - {a^2}}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}{{2{c^2}}} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = {c^2}\\
{a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = b
\end{array} \right.
\end{array}\]

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông hoặc cân đỉnh C.