VỎ=Tìm điểm, LÕI=Tương giao.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hoả Long Natsu hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hầm số$\ y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\left( C \right).$Tìm trên (C) cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta :y = x - 1.$.
Giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua 2 điểm cần tìm. Do d vuông góc với $\Delta$ nên d:y = -x + m.
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của PT:$\ \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} =  - x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
g\left( {x,m} \right) = 2{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0
\end{array} \right.$

Để tồn tại 2 điểm cần tìm thì:$\ \left\{ \begin{array}{l}
g\left( 1 \right) \ne 0\\
{\Delta _g} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 \ne 0\\
{\left( {m + 1} \right)^2} - 8m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 3 + 2\sqrt 2 \\
m < 3 - 2\sqrt 2
\end{array} \right.$
Gọi$\ \left\{ \begin{array}{l}
A\left( {{x_1};m - {x_1}} \right)\\
B\left( {{x_2};m - {x_2}} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow $Trung điểm M của AB là$\ M\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};m - \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right) \in \Delta .$
$\  \Leftrightarrow m - \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{2} = {x_1} + {x_2} = m + 1 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1.$
$\ 2{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 1} \right)\\
B\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 1} \right)
\end{array} \right.$ Là 2 điểm cần tìm.