Chiêu "BẤT bí di TUYẾN"

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Drqm Sces hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)\[Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
x,y > 0\\
x + y = 1
\end{array} \right..\,\,Min\,P = \frac{x}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = ?\]Phân tích: 
Gặp bài toán rất đẹp thế này chúng ta có rất nhiều hướng giải, sau đây thầy sẽ phân tích các hướng và tính khả dụng của từng hướng đó:
- Hướng đi 1: Hướng này đa số được các bạn dùng nhờ tính đơn giản và dễ hiểu. Đó là việc rút x hoặc y từ điều kiện x + y = 1 và thế vào P xét hàm f(x) hay f(y) nhận được. Tuy nhiên, không phải mọi hàm số khi xét đều khả thi, đây là một trong số các hàm như vậy. Vì ở đây chứa nhiều điểm phức tạp: Tổng, các hàm phân thức, có chứa căn, không có quy luật căn...CANCEL.
- Hướng đi 2: Lượng giác hoá nhờ hệ thức x + y = 1. Việc này cũng được coi là quy về hàm một biến (biến góc) nhưng để biến đổi lượng giác và xét hàm lượng giác này cũng khá phức tạp vì tổng, các phân thức, chứa lượng giác, bậc cao...Chúng ta có thể giảm bậc nhưng lại đưa về hàm vô tỷ như hướng 1... CANCEL
- Hướng đi 3: Sử dụng PP chọn điểm rơi và cố gắng sử dụng các BĐT cổ điển (Cauchy, Cauchy-Schwarz). Cũng không thấy ổn, vì rằng rất khó tìm được lượng sử dụng thêm bớt và xuất hiện dấu hiệu sử dụng các BĐT trên...Thậm chí dễ dẫn đến xuất hiện dấu BĐT ngược chiều ở một bước nào đó... CANCEL.
- Hướng đi 4: Quy đồng lên, ép về tổng và tích của x và y, vận dụng x + y = 1 và đánh giá của xy để đưa về hàm f(t) trong đó t=xy. Nghe có vẻ dễ nhưng sẽ hơi dài và hàm f(t) nhận được xét nó không đơn giản đâu nhé, dù cho nó chỉ là một phân thức thôi nhưng tử và mẫu của nó thì lại là các hàm phức tạp nữa đấy...CANCEL.

- Hướng đi 5: May thay x và y chọn được điểm rơi x=y=1/2 và rút được hai hàm bé có cấu trúc như nhau trong biểu thức P. Việc còn lại là sử dụng PP tiếp tuyến, chọn được đánh giá chứa biến x và y có hệ số như nhau như sau:\[\begin{array}{l}
P = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{1 - y}}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} \Rightarrow Coi\,f\left( t \right) = \frac{{1 - t}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{ - t - 1}}{{\left( {{t^2} + 1} \right)\sqrt {{t^2} + 1} }}\\
 \Rightarrow f'\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{ - \frac{3}{2}}}{{\frac{5}{4}.\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} =  - \frac{{12}}{{5\sqrt 5 }} \Rightarrow P{T^3}:y =  - \frac{{12}}{{5\sqrt 5 }}\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow y =  - \frac{{12}}{{5\sqrt 5 }}x + \frac{{11}}{{5\sqrt 5 }}
\end{array}\]Ta sẽ đi chứng minh:$\  \Rightarrow f\left( t \right) \ge \left( { - \frac{{12}}{{5\sqrt 5 }}t + \frac{{11}}{{5\sqrt 5 }}} \right),\forall t \in \left( {0;1} \right).$ Thật vậy, ta xét:\[\begin{array}{l}
f\left( t \right) - \left( { - \frac{{12}}{{5\sqrt 5 }}t + \frac{{11}}{{5\sqrt 5 }}} \right) = \frac{{1 - t}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} + \frac{{12t - 11}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{{5\sqrt 5 \left( {1 - t} \right) + \left( {12t - 11} \right)\sqrt {{t^2} + 1} }}{{5\sqrt 5 \sqrt {{t^2} + 1} }}\\
5\sqrt 5 \left( {1 - t} \right) + \left( {12t - 11} \right)\sqrt {{t^2} + 1}  \ge 0 \Leftrightarrow 5\sqrt 5 \left( {1 - t} \right) \ge \left( {11 - 12t} \right)\sqrt {{t^2} + 1} \left( * \right)
\end{array}\]- Xét $\ \frac{{11}}{{12}} < t < 1 \Rightarrow \left( * \right)\,$ luôn đúng (Do VT>0 mà VP<0)
-Xét $\ 0 < t \le \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 125{\left( {t - 1} \right)^2} \ge {\left( {12t - 11} \right)^2}\left( {{t^2} + 1} \right) \Leftrightarrow 2{\left( {2t - 1} \right)^2}\left( {18{t^2} - 15t - 2} \right) \le 0.$
Giải:
Áp dụng đánh giá ở phân tích trên ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge  - \frac{{12}}{{5\sqrt 5 }}x + \frac{{11}}{{5\sqrt 5 }}\\
\frac{{1 - y}}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} \ge  - \frac{{12}}{{5\sqrt 5 }}y + \frac{{11}}{{5\sqrt 5 }}
\end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{1 - y}}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} \ge \frac{{22}}{{5\sqrt 5 }} - \frac{{12}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\]Vậy $\ Min\,P = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.$