HHGT liên quan đến đường tròn Euler.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Gly Ala Val hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1). Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của các đọan BA, BC và chân đường cao hạ từ B xuống cạnh AC có phương trình x²+(y+1)²=4. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Ta thấy ngay phương trình đường tròn đã cho chính là đường tròn Ơle đi qua 9 điểm:
- 3 trung điểm của 3 cạnh tam giác ABC.
- 3 chân đường cao xuất phát từ các đỉnh đến các cạnh đối diện của tam giác ABC.
- 3 trung điểm của các đoạn nối từ trực tâm đến các đỉnh của tam giác ABC.
Khi đó, gọi N là trung điểm của BC. Khi đó N thuộc đường tròn x²+(y+1)²=4.
Mặt khác, $\ \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {GA}  = -2\overrightarrow {GN}  \Rightarrow \exists V_{G\left( {1;1} \right)}^{k = -2}\left( N \right) = G\\
N \in {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\left( {I\left( {0; - 1} \right),R' = 2} \right)
\end{array} \right.$\[ \Rightarrow A,B,C \in \left( O \right):\left\{ \begin{array}{l}
R = 2R' = 4\\
\overrightarrow {GO}  = -2\overrightarrow {GI}  \Leftrightarrow I\left( {3;5} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ABC} \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 16\]