Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có PT đường thẳng của AB, AC lần lượt là 4x-3y-20=0, 2x+y+10=0. Đường tròn (C) qua trung điểm của các đọan HA, HB, HC có phương trình (x-1)²+(y+2)²=25, với H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm H, biết hoành độ điểm C lớn hơn -4.
Giải:
Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. O và O' lần lượt là tâm của (ABC) và (A'B'C').
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {HA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HA} \\
\overrightarrow {HB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HB} \\
\overrightarrow {HC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A' = V_H^{\frac{1}{2}}\left( A \right)\\
B' = V_H^{\frac{1}{2}}\left( B \right)\\
C' = V_H^{\frac{1}{2}}\left( C \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {A'B'C'} \right) = V_H^{\frac{1}{2}}\left( {(ABC)} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {HO'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HO} \\
\frac{{R'}}{R} = \frac{1}{2} = \frac{5}{R} \Leftrightarrow R = 10
\end{array} \right.
\end{array}.$
Gọi H(a;b) khi đó:$\ \left\{ \begin{array}{l}
{x_O} = {x_H} + 2{x_{\overrightarrow {HO'} }}\\
{y_O} = {y_H} + 2{y_{\overrightarrow {HO'} }}
\end{array} \right. \Rightarrow O\left( {2 - a; - 4 - b} \right)$
$\ \begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {ABC} \right):{\left( {x + a - 2} \right)^2} + {\left( {y + b + 4} \right)^2} = 100\\
A\left( { - 1; - 8} \right) \in \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 100.
\end{array}$
