Đề bài: (Câu hỏi của bạn Ngô Minh Phương hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hàm số$\ \,y = - {x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - m - 1\left( {{C_m}} \right)$ và đường thẳng$\ \Delta :y = 2mx - m - 1.$ Tìm điều kiện của m để $\ \Delta $ cắt $\ \left( {{C_m}} \right)$ tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho$\ {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Hoành độ giao điểm của $\ \Delta $ và $\ \left( {{C_m}} \right)$ là nghiệm của phương trình:
\[\begin{array}{l}
- {x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - m - 1 = 2mx - m - 1 \Leftrightarrow {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 2mx = 0\\
\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m} \right] = 0 \Leftrightarrow x.g\left( {x,m} \right) = 0.\\
\bullet \,\Delta \cap \left( {{C_m}} \right) = \left\{ {A \ne B \ne C} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( 0 \right) \ne 0\\
{\Delta _g} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{\left( {2m + 1} \right)^2} - 8m > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m \ne \frac{1}{2}
\end{array} \right.\left( * \right)\\
\bullet x\left[ {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m} \right] = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
A\left( {0; - m - 1} \right)\\
B\left( {1;m - 1} \right)\\
C\left( {2m;4{m^2} - m - 1} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 + 4{m^2} + {\left( {4{m^2} - m - 1} \right)^2}\\
= 16{m^4} - 8{m^3} - {m^2} + 2m + 4 = f\left( m \right)\\
\Rightarrow f'\left( m \right) = 64{m^3} - 24{m^2} - 2m + 2 = \left( {4m + 1} \right)\left( {16{m^2} - 10m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}\\
\Rightarrow Min\,f\left( m \right) = f\left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{29}}{8} \Rightarrow Min\,\left( {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}} \right) = \frac{{29}}{8} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}\left( {t/m} \right)
\end{array}\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét