Kỹ thuật dồn biến căn bản.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Long Thể Bất An hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực $\ \left\{ \begin{array}{l}
x,y > 0\\
xy \le y - 1
\end{array} \right..\,$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\[P = \frac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} - xy + {y^2}} }} - \frac{{x - 2y}}{{6\left( {x + y} \right)}}\]
Giải:
Ta có:$\ xy \le y - 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{x}{y} \le \frac{1}{y} - \frac{1}{{{y^2}}} = f\left( y \right) \Rightarrow f'\left( y \right) = \frac{2}{{{y^3}}} - \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{{2 - y}}{{{y^3}}} = 0 \Leftrightarrow y = 2.$
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow 0 < \frac{x}{y} \le f\left( 2 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 < \frac{x}{y} + 1 \le \frac{5}{4}\\
P = \frac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} - xy + {y^2}} }} - \frac{{x - 2y}}{{6\left( {x + y} \right)}} = \frac{{\frac{x}{y} + 1}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - \frac{x}{y} + 1} }} - \frac{{\frac{x}{y} - 2}}{{6\left( {\frac{x}{y} + 1} \right)}}\\
 = f\left( t \right) = \frac{t}{{\sqrt {{t^2} - 3t + 3} }} - \frac{{t - 3}}{{6t}}\left( {t = \frac{x}{y} + 1;t \in \left( {1;\frac{5}{4}} \right]} \right)\,\, \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{\sqrt {{t^2} - 3t + 3}  - \frac{{t\left( {2t - 3} \right)}}{{2\sqrt {{t^2} - 3t + 3} }}}}{{{t^2} - 3t + 3}} + \frac{1}{{2{t^2}}}\\
 = \frac{{2\left( {{t^2} - 3t + 3} \right) - t\left( {2t - 3} \right)}}{{2\left( {{t^2} - 3t + 3} \right)\sqrt {{t^2} - 3t + 3} }} + \frac{1}{{2{t^2}}} = \frac{{6 - 3t}}{{2\left( {{t^2} - 3t + 3} \right)\sqrt {{t^2} - 3t + 3} }} + \frac{1}{{2{t^2}}}\\
Do\,\left\{ \begin{array}{l}
{t^2} - 3t + 3 > 0,\forall t\\
6 - 3t \ge \frac{9}{4} > 0
\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( t \right) > 0 \Rightarrow Max\,P = f\left( {\frac{5}{4}} \right) = \frac{{91 + 150\sqrt {13} }}{{390}}
\end{array}\]Vậy Giá trị lớn nhất của hàm số là$\ \frac{{91 + 150\sqrt {13} }}{{390}} \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{2};2} \right).$ Hàm số không có Giá trị nhỏ nhất.