Hình giải tích có sử dụng PHÉP BIẾN HÌNH.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Thạch hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có PT đường thẳng của AB, AC lần lượt là 4x-3y-20=0, 2x+y+10=0. Đường tròn (C) qua trung điểm của các đọan HA, HB, HC có phương trình (x-1)²+(y+2)²=25, với H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm H, biết hoành độ điểm C lớn hơn -4.
Giải:
Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. O và O' lần lượt là tâm của (ABC) và (A'B'C').

$\ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {HA'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {HA} \\ \overrightarrow {HB'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {HB} \\ \overrightarrow {HC'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A' = V_H^{\frac{1}{2}}\left( A \right)\\ B' = V_H^{\frac{1}{2}}\left( B \right)\\ C' = V_H^{\frac{1}{2}}\left( C \right) \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left( {A'B'C'} \right) = V_H^{\frac{1}{2}}\left( {(ABC)} \right)\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {HO'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {HO} \\ \frac{{R'}}{R} = \frac{1}{2} = \frac{5}{R} \Leftrightarrow R = 10 \end{array} \right. \end{array}.$
Gọi H(a;b) khi đó:$\ \left\{ \begin{array}{l} {x_O} = {x_H} + 2{x_{\overrightarrow {HO'} }}\\ {y_O} = {y_H} + 2{y_{\overrightarrow {HO'} }} \end{array} \right. \Rightarrow O\left( {2 - a; - 4 - b} \right)$
$\ \begin{array}{l}  \Rightarrow \left( {ABC} \right):{\left( {x + a - 2} \right)^2} + {\left( {y + b + 4} \right)^2} = 100\\ A\left( { - 1; - 8} \right) \in \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 100. \end{array}$

Ta nhận thấy (A'B'C') là đường tròn Ơle nên nó cũng đi qua trung điểm M của AC. Mà toạ độ giao điểm của (A'B'C') và AC là nghiệm của hệ: $$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\\ 2x + y + 10 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} M\left( { - 2; - 6} \right) \Rightarrow C\left( { - 3; - 4} \right) \in \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow {\left( {a - 5} \right)^2} + {b^2} = 100\,\\ M\left( { - 4; - 2} \right) \Rightarrow C\left( { - 7;4} \right)\left( {{x_C} <  - 4} \right)\left( L \right) \end{array} \right..\,\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 100\\ {\left( {a - 5} \right)^2} + {b^2} = 100 \end{array} \right.\, \Leftrightarrow H\left( {\frac{{2 - \sqrt {19} }}{2};2 - \sqrt {19} } \right)\,or\,H\left( {\frac{{2 + \sqrt {19} }}{2};2 + \sqrt {19} } \right) \end{array}$$