Cho hàm số\ y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1\left( {{C_m}} \right). Tìm m để Ox cắt \ \left( {{C_m}} \right) tại 3 điểm A(cố định), B và C phân biệt sao cho B, C nằm về 2 phía của đường tròn \ \left( T \right):{x^2} + {y^2} = \frac{1}{4}.
Giải:
Hoành độ giao điểm của Ox và \ \left( {{C_m}} \right) là nghiệm của phương trình:
\begin{array}{l} {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2} - x + 1} \right) - m\left( {{x^2} - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) - mx\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - mx - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)g\left( {x,m} \right) = 0\\ \bullet \,\Delta \cap \left( {{C_m}} \right) = \left\{ {A\left( {1;0} \right) \ne B \ne C} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g\left( 1 \right) \ne 0\\ {\Delta _g} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {m^2} + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\left( * \right)\\ \bullet \,\left\{ \begin{array}{l} B\left( {{x_1};0} \right)\& C\left( {{x_2};0} \right)\\ {x_1};{x_2} \in \left\{ {x:g\left( x \right) = 0} \right\} \end{array} \right. \Rightarrow B,C \in \left( {in\left( T \right)\& Out\left( T \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + y_1^2 - \frac{1}{4}} \right)\left( {x_2^2 + y_2^2 - \frac{1}{4}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - \frac{1}{4}} \right)\left( {x_2^2 - \frac{1}{4}} \right) < 0 \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + \frac{1}{{16}} < 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + \frac{1}{{16}} < 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - \frac{1}{4}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + \frac{1}{2}{x_1}{x_2} + \frac{1}{{16}} < 0\mathop \Leftrightarrow \limits_{Viet} 1 - \frac{1}{4}{m^2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{{16}} < 0 \Leftrightarrow {m^2} > \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > \frac{3}{2}\\ m < - \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array}
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét