Tương giao kết hợp HHGT Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Đinh Văn Phúc hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hàm số$\ y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1\left( {{C_m}} \right).$ Tìm m để Ox cắt $\ \left( {{C_m}} \right)$ tại 3 điểm A(cố định), B và C phân biệt sao cho B, C nằm về 2 phía của đường tròn $\ \left( T \right):{x^2} + {y^2} = \frac{1}{4}.$
Giải:
Hoành độ giao điểm của Ox và $\ \left( {{C_m}} \right)$ là nghiệm của phương trình:
\[\begin{array}{l}
{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2} - x + 1} \right) - m\left( {{x^2} - x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) - mx\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - mx - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)g\left( {x,m} \right) = 0\\
 \bullet \,\Delta  \cap \left( {{C_m}} \right) = \left\{ {A\left( {1;0} \right) \ne B \ne C} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( 1 \right) \ne 0\\
{\Delta _g} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} + 4 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\left( * \right)\\
 \bullet \,\left\{ \begin{array}{l}
B\left( {{x_1};0} \right)\& C\left( {{x_2};0} \right)\\
{x_1};{x_2} \in \left\{ {x:g\left( x \right) = 0} \right\}
\end{array} \right. \Rightarrow B,C \in \left( {in\left( T \right)\& Out\left( T \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + y_1^2 - \frac{1}{4}} \right)\left( {x_2^2 + y_2^2 - \frac{1}{4}} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - \frac{1}{4}} \right)\left( {x_2^2 - \frac{1}{4}} \right) < 0 \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + \frac{1}{{16}} < 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + \frac{1}{{16}} < 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - \frac{1}{4}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + \frac{1}{2}{x_1}{x_2} + \frac{1}{{16}} < 0\mathop  \Leftrightarrow \limits_{Viet} 1 - \frac{1}{4}{m^2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{{16}} < 0 \Leftrightarrow {m^2} > \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > \frac{3}{2}\\
m <  - \frac{3}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\]