Hệ phương trình hay.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Harry Miller hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình:$\ \left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 6{y^2} - 12y + 4 = \left( {5 + 2x} \right)\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\
\left( {{y^2} - 2y} \right)\sqrt {x + 1}  - xy + x = 0
\end{array} \right.$
Giải:
Ta có: HPT$\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 6\left( {{y^2} - 2y + 1} \right) - 2 = \left( {5 + 2x} \right)\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \left( 1 \right)\\
\left( {{y^2} - 2y + 1} \right)\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x + 1}  - \left( {x + 1 - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( 2 \right)
\end{array} \right.$


$\ \begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2}\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x + 1}  + \left( {y - 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = \sqrt {x + 1}  \ge 0;\,v = y - 1\\
u{v^2} - u + v - {u^2}v = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 0 \Rightarrow v = 0 \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow 2 + 0 - 2 = 3\left( L \right)\\
u = 0 \Rightarrow v = 0 \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow 2 + 0 - 2 = 3\left( L \right)\\
\left( {u,v} \right) \ne \left( {0;0} \right):v - \frac{1}{v} + \frac{1}{u} - u = 0 \Leftrightarrow v - \frac{1}{v} = u - \frac{1}{u}\left( {f\left( t \right) = t - \frac{1}{t} \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{{t^2}}} > 0,\forall t} \right)\,\,
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow u = v \Leftrightarrow y - 1 = \sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} = x + 1
\end{array}.$
Thế vào (2):$\ 2{x^2} + 6\left( {x + 1} \right) - 2 = \left( {2x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1}  \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x + 4 = \left( {2x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1} .$
$\ \begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {2x + 5} \right) - 8 = \left( {2x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1} \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2x + 5\left( {a \ge 3} \right)\\
b = \sqrt {{x^2} + x + 1} \left( {b > 0} \right)\\
2{b^2} + 2a - 8 = ab \Leftrightarrow 2\left( {{b^2} - 4} \right) - a\left( {b - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {b - 2} \right)\left( {2b + 4 - a} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = \sqrt {{x^2} + x + 1}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {13}  - 1}}{2}\left( {x =  - \frac{{\sqrt {13}  + 1}}{2} <  - 1} \right)\\
a = 2b + 4 \Leftrightarrow 2x + 5 = 2\sqrt {{x^2} + x + 1}  + 4 \Leftrightarrow 2x + 1 = 2\sqrt {{x^2} + x + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - \frac{1}{2}\\
1 = 4\left( L \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,
\end{array}.$
Vậy HPT có nghiệm duy nhất:$\ S = \left\{ {\left( {\frac{{\sqrt {13}  - 1}}{2};1 + \sqrt {\frac{{\sqrt {13}  + 1}}{2}} } \right)} \right\}.$