Câu 1 (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 1.1 Các em tự khảo sát và vẽ đồ thị nhé.
Câu 1.2 Ta có tâm đối xứng I(1;-1)$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} OI:y =  - x\\ OI = \sqrt 2 \end{array} \right.$ Do tứ giác OABI là hình thang nên $\ \overrightarrow {AB}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {OI} .$

Khi đó A và B chính là giao điểm của đường thẳng d: y=-x+m với đồ thị (1), sao cho $\ AB = 3\sqrt 2 .$
Thật vậy, Hoành độ giao điểm của d với đồ thị hàm số là nghiệm của PT: $\ \frac{x}{{1 - x}} =  - x + m\left( {x \ne 1} \right).$
Để tồn tại A, B phân biệt thì HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0\\ g\left( 1 \right) \ne 0 \end{array} \right.$ phải có 2 nghiệm phân biệt.
$\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _g} = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4m = {m^2} + 4 > 0\\ g\left( 1 \right) =  - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Rightarrow$ Với mọi m đều tồn tại A, B.
Mặt khác, ta gọi$\ A\left( {{x_1};m - {x_1}} \right)\& B\left( {{x_2};m - {x_2}} \right) \Rightarrow 18 = A{B^2} = 2{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9.$
$\  \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4m = 9 \Leftrightarrow {m^2} = 5 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 5 .$

• Nếu $\ m =  - \sqrt 5  \Rightarrow A\left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2};\frac{{\sqrt 5  + 1}}{2}} \right)\& B\left( {\frac{{\sqrt 5  + 5}}{2};\frac{{\sqrt 5  - 5}}{2}} \right).$
• Nếu $\ m = \sqrt 5  \Rightarrow A\left( {\frac{{\sqrt 5  - 5}}{2};\frac{{ - \sqrt 5  - 1}}{2}} \right)\& B\left( {\frac{{ - \sqrt 5  - 1}}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right).$

Vậy có 2 cặp điểm A, B thỏa mãn điều kiện đề bài như trên.