Đề bài: Giải phương trình $ \dfrac{\sin x \left(3-2\cos x \right)+\cos 2x \left(2\cos x +1 \right)-2}{\cos 3x}=1.$
Giải:
Điều kiện : $\ \cos 3x \ne 0 \iff 3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \iff x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\left( {k \in Z} \right).$
Phương trình đã cho tương đương:
$\ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left( {3 - 2\cos x} \right) + c{\rm{os2x}}\left( {2\cos x + 1} \right) - 2 = c{\rm{os3x}}\\
\iff {\rm{3sinx - 2sinxcosx + }}\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)2\cos x + 2{\cos ^2}x - 3 = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\\
\iff {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left( {3 - 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right) + c{\rm{os}}x + 2{\cos ^2}x - 3 = 0\\
\iff 3\sin x - 2\sin x\cos x + c{\rm{os}}x - 2{\sin ^2}x - 1 = 0\\
\iff \left( {1 - 2\sin x} \right)\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{os}}x - 1} \right) = 0
\end{array}.$
$\ \begin{array}{l}
\iff \left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \frac{1}{2}\\
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{os}}x = 1
\end{array} \right.\\
\bullet {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \frac{1}{2} \iff \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\
\bullet {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{os}}x = 1 \iff c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
\iff \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}.$
Đối chiếu với điều kiện. Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $\ x = k2\pi \left( {k \in Z} \right).$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét