Bất đẳng thức - Trích đề thi thử ĐH (sưu tầm)

Đề bài: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa điều kiện $\dfrac{4a}{b}\left(1+\dfrac{2c}{b} \right)+\dfrac{b}{a} \left(1+\dfrac{c}{a} \right)=6$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\ P = \frac{{bc}}{{a\left( {b + 2c} \right)}} + 2\left[ {\frac{{ac}}{{b\left( {c + a} \right)}} + \frac{{ab}}{{c\left( {2a + b} \right)}}} \right].$
Giải:
Đặt $x= 2a,y=b,z=4c$. Khi đó, $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn:
$$\begin{aligned}\frac{2x}{y}+ \frac{xz}{y^2}+ \frac{2y}{x}+ \frac{yz}{x^2} =6&\iff 6= \frac{z(x^3+y^3)}{x^2y^2}+ \frac{2(x^2+y^2)}{xy}\ge \frac{z(x+y)}{xy}+4\\ &\iff 0< \frac{z(x+y)}{xy}\le 6-4=2\end{aligned}$$ Mặt khác, theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$\begin{aligned}P&= \frac{yz}{2xy+xz}+ \frac{xz}{yz+2xy}+ \frac{4xy}{xz+yz}\\ &\ge \frac{z^2(x+y)^2}{2xyz(x+y+z)}+ \frac{4xy}{z(x+y)}\\ &\ge \frac{3z^2(x+y)^2}{2(xy+yz+zx)^2}+ \frac{4xy}{z(x+y)}\\ &= \frac{3\left(\frac{z(x+y)}{xy}\right)^2}{2\left(1+ \frac{z(x+y)}{xy}\right)^2}+ \frac{4xy}{z(x+y)}\end{aligned}$$ Nếu ta tiếp tục đặt $t= \frac{z(x+y)}{xy}$, bài toán dẫn đến khảo sát hàm số:
$$f(t)= \frac{3t^2}{2(1+t)^2}+ \frac{4}{t},\ 0<t\le 2$$
Từ đó suy ra $f(t)\ge f(2)= \dfrac{8}{3}$.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0\iff 2a=b=4c>0$