Đề bài: Cho hàm số $ y= \dfrac{2x+m}{x-2}$ $(H_{m})$,$m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d : y=x+3$ cắt đồ thị $(H_{m})$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tích khoảng cách từ hai điểm $A$ và $B$ đến đường thẳng $\Delta: x+2y-1=0$ bằng 2.
Giải:
PT hoành độ giao điểm của $\left(H_{m} \right)$ và $d$ là :
$\frac{2x+m}{x-2}=x+3\quad\left(1 \right)
\iff \begin{cases}
x\neq 2 & \text{ } \\ x^{2}-x-m-6=0
& \text{ }
\end{cases}\quad\left(2 \right).$
Để $\left(H_{m} \right)$ cắt d tại 2 điểm phân biệt $A$ và $B$ thì PT $\left(1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt
$\iff \left(2 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\neq 2$$\iff \begin{cases}\Delta =1+4m+24 > 0
\\ m\neq -4
\end{cases}$$\iff \begin{cases}
m > \dfrac{-25}{4} & \text{ } \\ m\neq -4
& \text{ }
\end{cases}$ $\left(* \right)$
Gọi $A\left(x_{1};x_{1}+3 \right)$ , $B\left(x_{2};x_{2}+3 \right)$ là giao điểm của $\left(H_{m} \right)$ và $d$.
Ta có $d_{\left(A,\Delta \right)}.d_{\left(B,\Delta \right)}=2$
$\iff \left|3x_{1}+5 \right|.\left|3x_{2}+5 \right|=10
\iff \left[9x_{1}.x_{2}+15\left(x_{1}+x_{2} \right)+25 \right]^{2}=100\quad\left(3 \right)$
Mà: $\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=1 \\ x_{1}.x_{2}=-m-6\end{cases}$.Thay vào $\left(3 \right)$ ta được :
$\left(9m+14 \right)^{2}=100$$\iff m=\dfrac{-8}{3}$ hoặc $m=\dfrac{-4}{9}$ thỏa mãn $\left(* \right)$
KL: Vậy giá trị $m$ cần tìm là : $m=\dfrac{-8}{3}$ , $m=\dfrac{-4}{9}$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét