Giải phương trình $\ {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{1 - {x^2}}} = 2.$

Đề bài: Giải phương trình $\ {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{1 - {x^2}}} = 2.$
Giải: Điều kiện $\ x >  - 2.$
Ta có: $\ PT \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) = 2 - {5^{{x^2} - 1}} = u \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 = {3^u}\\
{x^2} = {\log _5}\left( {2 - u} \right) + 1
\end{array} \right.$

$\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {{3^u} - 2} \right)^2} = {\log _5}\left( {2 - u} \right) + 1\\
u = g\left( x \right) = 2 - {5^{{x^2} - 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{3^{2u}} - {4.3^u} + 3 - {\log _5}\left( {2 - u} \right) = 0\\
u = g\left( x \right) = 2 - {5^{{x^2} - 1}}
\end{array} \right.$
Mặt khác, $\ \left\{ \begin{array}{l}
u' = g'\left( x \right) =  - 2x{5^{{x^2} - 1}}\ln 5 = 0 \Leftrightarrow x = 0\\
x >  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow u < \mathop {Max}\limits_{\left( { - 2; - \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = \frac{9}{5}.$
Xét hàm $\ h\left( u \right) = {3^{2u}} - {4.3^u} + 3 - {\log _5}\left( {2 - u} \right).$
$\  \Rightarrow h'\left( u \right) = 2\ln 3{\left( {{3^u} - 1} \right)^2} + \left[ {\frac{1}{{\left( {2 - u} \right)\ln 5}} - 2\ln 3} \right] > 2\ln 3{\left( {{3^u} - 1} \right)^2} + \left( {\frac{5}{{\ln 5}} - 2\ln 3} \right) > 0\left( {\forall u < \frac{9}{5}} \right).$
Vậy h(u) là hàm đồng biến mà h(1)=0 nên u=1 là nghiệm duy nhất. Khi đó: $\ x = {3^1} - 2 = 1.$

Vậy PT có nghiệm duy nhất x=1.