Giải: Điều kiện \ x > - 2.
Ta có: \ PT \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) = 2 - {5^{{x^2} - 1}} = u \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 = {3^u}\\ {x^2} = {\log _5}\left( {2 - u} \right) + 1 \end{array} \right.
\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{3^u} - 2} \right)^2} = {\log _5}\left( {2 - u} \right) + 1\\ u = g\left( x \right) = 2 - {5^{{x^2} - 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {3^{2u}} - {4.3^u} + 3 - {\log _5}\left( {2 - u} \right) = 0\\ u = g\left( x \right) = 2 - {5^{{x^2} - 1}} \end{array} \right.
Mặt khác, \ \left\{ \begin{array}{l} u' = g'\left( x \right) = - 2x{5^{{x^2} - 1}}\ln 5 = 0 \Leftrightarrow x = 0\\ x > - 2 \end{array} \right. \Rightarrow u < \mathop {Max}\limits_{\left( { - 2; - \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = \frac{9}{5}.
Xét hàm \ h\left( u \right) = {3^{2u}} - {4.3^u} + 3 - {\log _5}\left( {2 - u} \right).
\ \Rightarrow h'\left( u \right) = 2\ln 3{\left( {{3^u} - 1} \right)^2} + \left[ {\frac{1}{{\left( {2 - u} \right)\ln 5}} - 2\ln 3} \right] > 2\ln 3{\left( {{3^u} - 1} \right)^2} + \left( {\frac{5}{{\ln 5}} - 2\ln 3} \right) > 0\left( {\forall u < \frac{9}{5}} \right).
Vậy h(u) là hàm đồng biến mà h(1)=0 nên u=1 là nghiệm duy nhất. Khi đó: \ x = {3^1} - 2 = 1.
Vậy PT có nghiệm duy nhất x=1.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét