Câu 6. Ta có: $\ {\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)^2} + 3{x^2}{y^2} + 1 = 4{x^2} + 5{y^2} \Leftrightarrow {y^2} - 3{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + 5.$
$\ \Rightarrow P = \frac{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + \left( {{y^2} - 3{x^2}{y^2}} \right) - 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)}^2} - 3\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + 4}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}.$
- Đặt $\ t = {x^2} + {y^2} + 1 \Rightarrow P = f\left( t \right) = t + \frac{4}{t} - 3.$
Mặt khác, ta có: $\ {\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)^2} + 3{x^2}{y^2} + 1 = 4{x^2} + 5{y^2}$
$\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)^2} - 5\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + 6 = - {x^2} - 3{x^2}{y^2}.$
$\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + 1 - 2} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 1 - 3} \right) = - {x^2} - 3{x^2}{y^2} \le 0 \Rightarrow t \in \left[ {2;3} \right].$
- Khi đó: $\ f'\left( t \right) = 1 - \frac{4}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 2 \in \left[ {2;3} \right].$
$\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{P_{Min}} = \mathop {Min}\limits_{\left[ {2;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
{x^2} + 3{x^2}{y^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {0; \pm 1} \right)\\
{P_{Max}} = \mathop {Max}\limits_{\left[ {2;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
{x^2} + 3{x^2}{y^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {0; \pm \sqrt 2 } \right)
\end{array} \right.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét