Câu 8.b (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 8.b 

Gọi $\ B\left( {a;b;0} \right) \Rightarrow O{B^2} = {a^2} + {b^2} = 8;\,\overrightarrow {OA}  = \left( {4;0;0} \right);\,\overrightarrow {OB}  = \left( {a;b;0} \right).$

$\  \Rightarrow O{B^2} = {a^2} + {b^2} = {8^2};\,\frac{1}{2} = cos{60^0} = \frac{{4.a}}{{4.8}}\left( {a > 0} \right)$$\  \Leftrightarrow B\left( {4;4\sqrt 3 ;0} \right) \Leftrightarrow G\left( {\frac{8}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right).$

$OA = 4;\,OB = 8;\,\widehat {AOB} = {60^0} \Rightarrow {S_{AOB}} = \frac{1}{2}.4.8.\sin \,{60^0} = 8\sqrt 3 $

$ \Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{3}OC.{S_{OAB}} = \frac{1}{3}.OC.8\sqrt 3  = 8 \Leftrightarrow OC = \sqrt 3  \Rightarrow C\left( {0;0; \pm \sqrt 3 } \right)$

Do vai trò C như nhau nên ta chọn $\ C\left( {0;0;\sqrt 3 } \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \left( { - 4;0;\sqrt 3 } \right).$

$\  \Rightarrow AC:x = 4 - 4t;\,y = 0;\,z = t\sqrt 3 $$\  \Rightarrow M\left( {4 - 4t;0;t\sqrt 3 } \right).$

$\  \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {4 - 4t;0;t\sqrt 3 } \right);\,\,\overrightarrow {GM}  = \left( {\frac{4}{3} - 4t; - \frac{{\sqrt 3 }}{2};t\sqrt 3 } \right);\,\,OM \bot MG.$

Vậy có 2 điểm M như trên thỏa mãn.