Câu 9.b (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 9.b Điều kiện: $\frac{x}{2-y}>0$
•Xét$\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & 2-y>0 \\ \end{align} \right..$ Từ PT (1) ta có: ${{3}^{x}}+{{\log }_{2}}x={{3}^{2-y}}+{{\log }_{2}}\left( 2-y \right)$

Xét hàm$f\left( t \right)={{3}^{t}}+{{\log }_{2}}t\left( t>0 \right)\Rightarrow f'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+\frac{1}{t\ln 2}>0\Rightarrow$f(t) đồng biến.
Mà$f\left( x \right)=f\left( 2-y \right)\Rightarrow x=2-y$. Thế vào (2) ta được: $2{{y}^{2}}+7y+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}   & y=-\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{7}{2} \\  & y=-2\Rightarrow x=4 \\ \end{align} \right.$
•Xét $\ \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ 2 - y < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ y > 2 \end{array} \right.$
Mà từ (2) ta có: $0<x\left( 2-y \right)=-{{y}^{2}}-11y-1=g\left( y \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}   & g\left( y \right)>0 \\  & g'\left( y \right)=-2y-11=0\Leftrightarrow y=-\frac{11}{2}\notin \left( 2;+\infty  \right) \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}   & g\left( y \right)>0 \\  & g\left( y \right)<g\left( 2 \right)=-27<0 \\ \end{align} \right.$ (Vô lý).
Vậy HPT có nghiệm $S=\left\{ \left( \frac{7}{2};-\frac{3}{2} \right),\,\left( 4;-2 \right) \right\}$