Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $\ AB = 4a,\,AD = 4a\sqrt 3 .$ Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng SA = 2a.
Gọi I là trung điểm của BC. Tính góc giữa SC và (SDI).
Giải:
Dựng $\ SH \bot AB\left( {H \in AB} \right).$
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
SH \bot AB\\
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\
\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB
\end{array} \right.$
$\ \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).$
Ta dễ dàng tính được $\ SH = a\sqrt 3 ;\,AH = a$ nhờ các hệ thức trong tam giác vuông SAB.
Tiếp tục tính cách cạnh IH, ID và HD bằng hệ thức Pitago ta có: $\ H{D^2} = H{I^2} + D{I^2} = 7a.$
Vậy HI vuông góc DI tại I.
Giả sử K là chân đường vuông góc hạ từ C xuống mặt phẳng (SDI). Khi đó:
$\ \left( {\widehat {SC,\left( {SID} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,SK}} \right) = \widehat {KSC} = \alpha \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{CK}}{{CS}} = \frac{{d\left( {C \to \left( {SDI} \right)} \right)}}{{SC}}.$
Mặt khác: $\ \left\{ \begin{array}{l}
SH \bot CI\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\
IH \bot CI
\end{array} \right. \Rightarrow CI \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow CI \bot SI.$
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{S_{CDI}} = \frac{1}{2}CI.CD = \frac{1}{4}BC.CD = \frac{{4a.4a\sqrt 3 }}{2} = 4{a^2}\sqrt 3 \\
{V_{S.CDI}} = \frac{1}{3}SH.{S_{CDI}};\,\,SH = a\sqrt 3
\end{array} \right. \Rightarrow {V_{S.CDI}} = 4{a^3}.$
Và $\ \left\{ \begin{array}{l}
SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{H^2} + B{I^2}} = 2a\sqrt 6 \\
DI = \sqrt {C{D^2} + C{I^2}} = 2a\sqrt 7 \\
{S_{SID}} = \frac{1}{2}SI.ID
\end{array} \right. \Rightarrow {S_{SID}} = 2{a^2}\sqrt {42} .$
Khi đó: $\ \left\{ \begin{array}{l}
d\left( {C \to \left( {SDI} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.CDI}}}}{{{S_{SID}}}} = \frac{{3.4{a^3}}}{{2{a^2}\sqrt {42} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\\
SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{H^2} + B{C^2}} = 2a\sqrt {15}
\end{array} \right. \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {70} }}.$
