Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \ AB = 4a,\,AD = 4a\sqrt 3 . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng SA = 2a.
Gọi I là trung điểm của BC. Tính góc giữa SC và (SDI).
Giải:
Dựng \ SH \bot AB\left( {H \in AB} \right).
Ta có: \ \left\{ \begin{array}{l} SH \bot AB\\ \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \end{array} \right.
\ \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).
Ta dễ dàng tính được \ SH = a\sqrt 3 ;\,AH = a nhờ các hệ thức trong tam giác vuông SAB.
Tiếp tục tính cách cạnh IH, ID và HD bằng hệ thức Pitago ta có: \ H{D^2} = H{I^2} + D{I^2} = 7a.
Vậy HI vuông góc DI tại I.
Giả sử K là chân đường vuông góc hạ từ C xuống mặt phẳng (SDI). Khi đó:
\ \left( {\widehat {SC,\left( {SID} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,SK}} \right) = \widehat {KSC} = \alpha \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{CK}}{{CS}} = \frac{{d\left( {C \to \left( {SDI} \right)} \right)}}{{SC}}.
Mặt khác: \ \left\{ \begin{array}{l} SH \bot CI\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\ IH \bot CI \end{array} \right. \Rightarrow CI \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow CI \bot SI.
Ta có: \ \left\{ \begin{array}{l} {S_{CDI}} = \frac{1}{2}CI.CD = \frac{1}{4}BC.CD = \frac{{4a.4a\sqrt 3 }}{2} = 4{a^2}\sqrt 3 \\ {V_{S.CDI}} = \frac{1}{3}SH.{S_{CDI}};\,\,SH = a\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow {V_{S.CDI}} = 4{a^3}.
Và \ \left\{ \begin{array}{l} SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{H^2} + B{I^2}} = 2a\sqrt 6 \\ DI = \sqrt {C{D^2} + C{I^2}} = 2a\sqrt 7 \\ {S_{SID}} = \frac{1}{2}SI.ID \end{array} \right. \Rightarrow {S_{SID}} = 2{a^2}\sqrt {42} .
Khi đó: \ \left\{ \begin{array}{l} d\left( {C \to \left( {SDI} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.CDI}}}}{{{S_{SID}}}} = \frac{{3.4{a^3}}}{{2{a^2}\sqrt {42} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\\ SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{H^2} + B{C^2}} = 2a\sqrt {15} \end{array} \right. \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {70} }}.
