Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + y + 1} + 1 = 4{\left( {x + y} \right)^2} + \sqrt {3\left( {x + y} \right)} \,\,\left( 1 \right)\\ \sqrt {5{x^3} - 1} - \sqrt[3]{{2y}} + x = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Đề bài: (Tư duy, lập luận để giải toán có căn cứ hơn)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + y + 1}  + 1 = 4{\left( {x + y} \right)^2} + \sqrt {3\left( {x + y} \right)} \,\,\left( 1 \right)\\
\sqrt {5{x^3} - 1}  - \sqrt[3]{{2y}} + x = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Ta có: $\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow a{\left( {x + y + 1} \right)^2} + b\left( {x + y + 1} \right) + \sqrt {x + y + 1}  = 9c{\left( {x + y} \right)^2} + 3d\left( {x + y} \right) + \sqrt {3\left( {x + y} \right)} .$
$\  \Leftrightarrow \sqrt {x + y + 1}  + \left( {a + b} \right) = \left( {9c - a} \right){\left( {x + y} \right)^2} - \left( {2a + b - 3d} \right)\left( {x + y} \right) + \sqrt {3\left( {x + y} \right)} .$

Để xuất hiện hàm đặc trưng thì: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a = c\\
9c - a = 4\\
2a + b - 3d = 0\\
b = d\\
a + b = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = d = \frac{1}{2}.$
Khi đó: $\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\left( {x + y + 1} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {x + y + 1} \right) + \sqrt {x + y + 1}  = \frac{1}{2}{\left[ {3\left( {x + y} \right)} \right]^2} + \frac{1}{2}\left[ {3\left( {x + y} \right)} \right] + \sqrt {3\left( {x + y} \right)} .$
Xét hàm: $\ f\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{t}{2} + \sqrt t \left( {t > 0} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = t + \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt t }}} \right) > 0,\forall t > 0.$
Vậy f(t) là hàm đồng biến nên ta có: $\ f\left( {x + y + 1} \right) = f\left[ {3\left( {x + y} \right)} \right] \Leftrightarrow x + y + 1 = 3x + 3y \Leftrightarrow 2y = 1 - 2x.$
Thế vào (2) ta có: $\ \sqrt {5{x^3} - 1}  - \sqrt[3]{{1 - 2x}} + x = 4\,\, \Leftrightarrow g\left( x \right) = \sqrt {5{x^3} - 1}  - \sqrt[3]{{1 - 2x}} + x - 4\left( {x \ge \frac{1}{{\sqrt[3]{5}}} > 0} \right).$
Khi đó: $\ g'\left( x \right) = \frac{{15{x^2}}}{{2\sqrt {5{x^3} - 1} }} + \frac{2}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}}} + 1 > 0,\forall x \ge \frac{1}{{\sqrt[3]{5}}} \Rightarrow $ g(x) đồng biến.
                            Mặt khác, g(1)=0. Vậy HPT có nghiệm: S={(1;-1/2)}