Hình Oxy: Xác định tọa độ các đỉnh của hình CN ABCD.

Đề bài:  Cho hình chữ nhật ABCD có (AC): x+2y-9=0. Điểm M(0;4) thuộc BC , N(2;8) thuộc CD, diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 6 và điểm C có tung độ nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Giải:

• Tìm tọa độ điểm C:

        Gọi C(9-2c;c) ta có:
        $\ \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {NC}  = \left( {7 - 2c;c - 8} \right)\\
\overrightarrow {MC}  = \left( {9 - 2c;c - 4} \right)
\end{array} \right.$
     
 Do $\ NC \bot MC \Rightarrow \overrightarrow {NC} .\overrightarrow {MC}  = 0$
      $\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{c^2} - 44c + 95 = 0\\
c \in Z
\end{array} \right. \Leftrightarrow C\left( { - 1;5} \right).$

• Tìm tọa độ các đỉnh còn lại:

      Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {CM}  = \left( {1; - 1} \right)\\
M\left( {0;4} \right)
\end{array} \right.$
      $\  \Rightarrow BC:x + y - 4 \Rightarrow B\left( {4 - b;b} \right).$
      Và $\ \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {CN}  = \left( {3;3} \right)\\
N\left( {2;8} \right)
\end{array} \right.$
      $\  \Rightarrow DC:x - y + 6 \Rightarrow D\left( {d - 6;d} \right).$
      Khi đó: $\ \left\{ \begin{array}{l}
BC = \sqrt 2 \left| {b - 5} \right|\\
CD = \sqrt 2 \left| {d - 5} \right|\\
{S_{ABCD}} = BC.DC = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| {\left( {b - 5} \right)\left( {d - 5} \right)} \right| = 3\left( 1 \right).$
     Mặt khác, trung điểm của BD $\ O\left( {\frac{{d - b - 2}}{2};\frac{{b + d}}{2}} \right) \in AC:x + 2y - 9 = 0.$
     $\  \Leftrightarrow b + 3d = 20 \Leftrightarrow b = 20 - 3d\left( 2 \right).$
    Thế (2) vào (1) ta được: $\ \left[ \begin{array}{l}
\left( {d;b} \right) = \left( {4;8} \right) \Leftrightarrow B\left( { - 4;8} \right),D\left( { - 2;4} \right),A\left( { - 5;7} \right)\\
\left( {d;b} \right) = \left( {6;2} \right) \Leftrightarrow B\left( {2;2} \right),D\left( {0;6} \right),A\left( {3;3} \right)
\end{array} \right.$

Vậy có 2 nghiệm hình thỏa mãn là: $\ \left[ \begin{array}{l}
A\left( { - 5;7} \right),B\left( { - 4;8} \right),\,C\left( { - 1;5} \right),D\left( { - 2;4} \right)\\
A\left( {3;3} \right),B\left( {2;2} \right),\,C\left( { - 1;5} \right),D\left( {0;6} \right)
\end{array} \right.$