BĐT

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hà Huy Hoàng hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{z}.$\
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $T = \dfrac{{x + z}}{{2x - z}} + \dfrac{{y + z}}{{2y - z}}$.
Giải:

BĐT

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Trang Nguyen đăng trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) = 1.$
Chứng minh rằng: $\dfrac{{\sqrt {{x^2} + xy + {y^2}} }}{{\sqrt {xy} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {{y^2} + yz + {z^2}} }}{{\sqrt {yz} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {{z^2} + zx + {x^2}} }}{{\sqrt {zx} + 1}} \ge \sqrt 3 (\bigstar).$
Giải:

Dãy số.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Dieu Linh Tran hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = {u_2} = 0\\ {u_{n + 1}} = \dfrac{{u_n^2 + 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2}}{{{u_{n - 1}} + 1}}\left( {n \ge 2} \right) \end{array} \right.$
Chứng minh rằng: $u_n$ nguyên với mọi $n.$
Giải:

BĐT

Đề bài: (Câu bất đẳng thức trích trong đề thi HSG Toán 9 - Quận Hoàn Kiếm - Hà Nội)
Cho $\Delta{ABC}$ vuông tại $A,$ có độ dài các cạnh $BC=a, CA=b, AB=c.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$M = 8{a^2}\left( {\dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \right) + \dfrac{{b + c}}{a} + 2016$
Giải:

HHP

Đề bài: (Câu hỏi của thầy Vũ Ngọc Hòa hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho $\Delta{ABC}$ vuông tại $A,$ có $AH$ là đường cao. $M$ là điểm tùy ý thuộc đoạn $AH(M \neq A,H).$ Gọi $P$ là điểm thuộc $BM$ kéo dài sao cho $CP=CA$ và $Q$ là điểm thuộc $CM$ kéo dài sao cho $BQ=BA, CP \cap BQ = E.$ Chứng minh rằng: $EP=EQ.$
Giải:

BPT

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Mưa Con Đường hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải bất phương trình: $4\left( {3x + \sqrt {9{x^2} - 4} } \right) > \dfrac{1}{x} + \dfrac{{9x}}{{{x^2} + 1}}(\bigstar)$
Giải:

BĐT

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Mèo Gay Lọ hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho trước hai số thực $a,b$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với $x,y,z$ là các số thực dương tùy ý: $P = \dfrac{{{x^2}}}{{\left( {ay + bz} \right)\left( {az + by} \right)}} + \dfrac{{{y^2}}}{{\left( {az + bx} \right)\left( {ax + bz} \right)}} + \dfrac{{{z^2}}}{{\left( {ax + by} \right)\left( {ay + bz} \right)}}$
Giải:

BĐT

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Cần Một Bờ Vai hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Bài 01: Cho $a,b,c$ là ba số thực dương. CMR: $\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + 8bc} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {{b^2} + 8ca} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {{c^2} + 8ab} }} \ge 1(\bigstar)$
Bài 02: Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$.
CMR: $\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 2\left( {1 + a + b + c} \right)(\clubsuit)$
Giải: