Tìm Min: $\ P = a + b + c + 48\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {a + 10} }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + c}}}}} \right).$

Đề bài: (Bài của bạn Micale Cat hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học và trên Hoctainha.vn)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: $\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 5\left( {a + b + c} \right) - 2ab.$
Tìm Min của $\ P = a + b + c + 48\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {a + 10} }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + c}}}}} \right).$
Giải:
Một bài toán rất tuyệt, dạy cho chúng ta "Nghệ thuật chọn điểm rơi và kĩ năng dồn biến".
Bài toán chia làm 2 công đoạn sau đây:
- Dồn biến về a+b+c.
- Chọn điểm rơi cho các BĐT Côsi xảy ra thuận lợi cho dồn biến.
*) Khai thác giả thiết và dồn về a+b+c:
Ta có: $\ {\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {c^2}} \right] = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab} \right) = 10\left( {a + b + c} \right).$
$\  \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left[ {\left( {a + b + c} \right) - 10} \right] \le 0 \Leftrightarrow a + b + c \le 10\left( {a + b + c > 0} \right).$

*) Sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi biến đổi biểu thức và dồn biến về a+b+c:
Ta giả sử tồn tại $\ \alpha ;\beta$ sao cho:$\ \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {a + 10} }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + c}}}} = \frac{{2\sqrt {3\alpha } }}{{2\sqrt {\alpha \left( {a + 10} \right)} }} + \frac{{3\sqrt[3]{{{\beta ^2}}}}}{{3\sqrt[3]{{\beta .\beta .\left( {b + c} \right)}}}}.$
Khi đó, Áp dụng BĐT Côsi cho các mẫu số ta có:
$\ \frac{{2\sqrt {3\alpha } }}{{2\sqrt {\alpha \left( {a + 10} \right)} }} + \frac{{3\sqrt[3]{{{\beta ^2}}}}}{{3\sqrt[3]{{\beta .\beta .\left( {b + c} \right)}}}} \ge \frac{{2\sqrt {3\alpha } }}{{a + 10 + \alpha }} + \frac{{3\sqrt[3]{{{\beta ^2}}}}}{{b + c + 2\beta }}.$
Để "ép" về biến a+b+c, ta nghĩ ngay đến BĐT phụ: $\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow x = y.$
Khi đó: $\ \left\{ \begin{array}{l} a + 10 = \alpha ;\,b + c = \beta \\ a + 10 + \alpha  = b + c + 2\beta \\ 2\sqrt {3\alpha }  = 3\sqrt[3]{{{\beta ^2}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{\alpha }{\beta } = \frac{3}{2}\\ \frac{{{\alpha ^3}}}{{{\beta ^4}}} = \frac{{27}}{{64}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha  = 12\\ \beta  = 8 \end{array} \right.$
$\ P = a + b + c + 48\left( {\frac{{12}}{{2\sqrt {12\left( {a + 10} \right)} }} + \frac{{12}}{{3\sqrt[3]{{8.8\left( {b + c} \right)}}}}} \right) \ge a + b + c + 576\left( {\frac{1}{{a + 22}} + \frac{1}{{b + c + 16}}} \right).$
$\  \ge a + b + c + \frac{{2304}}{{a + b + c + 38}} = t - 38 + \frac{{2304}}{t} = f\left( t \right) = \left( {t \le 10 + 38 = 48} \right).$
$\  \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 - \frac{{2034}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 48 \Rightarrow Min\,P = f\left( {48} \right) = 48 - 38 + 48 = 58.$
Dấu "=" xảy ra $\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + c = 10\\ a + b = c\\ a + 10 = 12;b + c = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 3\\ c = 5 \end{array} \right.$