Bất đẳng thức: $\ \frac{1}{x}\cos A + \frac{1}{y}\,\cos B + \frac{1}{z}\cos C \le \frac{x}{{2yz}} + \frac{y}{{2zx}} + \frac{z}{{2xy}}.$

Đề bài: (Bài của bạn Micale Cat hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho tam giác ABC và các số thực dương x, y, z. CMR: $\ \frac{1}{x}\cos A + \frac{1}{y}\,\cos B + \frac{1}{z}\cos C \le \frac{x}{{2yz}} + \frac{y}{{2zx}} + \frac{z}{{2xy}}.$
Giải:
Ta có: BĐT $\  \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 2yz\cos A + 2zx\,\cos B + 2xy\cos C.$
$\  \Leftrightarrow {\left[ {z - \left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)} \right]^2} - {\left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)^2} + {x^2} + {y^2} + 2xycos\left( {A + B} \right) \ge 0.$
$\  \Leftrightarrow {\left[ {z - \left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)} \right]^2} + {x^2}\left( {1 - {{\cos }^2}B} \right) + {y^2}\left( {1 - {{\cos }^2}A} \right) - 2xy\sin A\sin B \ge 0.$

$\  \Leftrightarrow {\left[ {z - \left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)} \right]^2} + x{\sin ^2}B + ysi{n^2}A - 2xy\sin A\sin B \ge 0.$
$\  \Leftrightarrow {\left[ {z - \left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)} \right]^2} + {\left( {x\sin B - y\sin A} \right)^2} \ge 0.$ Điều này luôn đúng vì:
$\ {\left[ {z - \left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)} \right]^2} \ge 0\& {\left( {x\sin B - y\sin A} \right)^2} \ge 0.$ Vậy BĐT đã cho luôn đúng.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\ \left\{ \begin{array}{l}
z = y\cos A + x\,\cos B\\
x\sin B = y\sin A
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{y} = \frac{{\sin A}}{{\sin B}}\\
z = y\cos A + x\,\cos B
\end{array} \right.$