Giới hạn $\ L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}^2}}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}}.$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Lương Xuân Sơn trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho dãy số $\ \left\{ {{u_n}} \right\}$ thoả mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \sqrt {2015} \\ {u_{n + 1}} = u_n^2 - 2 \end{array} \right.$ Tính $\ L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}^2}}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}}.$
Giải:
Ta có: $\ {u_{n + 1}} = u_n^2 - 2 \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 - 4 = {\left( {u_n^2 - 2} \right)^2} - 4 = u_{_n}^2\left( {u_{_n}^2 - 4} \right) = u_n^2.u_{n - 1}^2\left( {u_{_{n - 1}}^2 - 4} \right) = u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2\left( {u_{_1}^2 - 4} \right).$

$\  \Leftrightarrow \frac{{u_{n + 1}^2}}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}} = \frac{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2\left( {u_{_1}^2 - 4} \right) + 4}}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}} = u_{_1}^2 - 4 + \frac{4}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}} = 2001 + \frac{4}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}}.$
$\  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}^2}}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {2011 + \frac{4}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}}} \right) = 2011\left( {Do\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{4}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}} = 0} \right).$