Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, BA=BC=a,$\ SA \bot \left( {ABC} \right).$ SB tạo với đáy góc $\ {60^0}$, M là trung điểm của AB. Tính: $\ d\left( {B \to \left( {SMC} \right)} \right).$
Giải: Bài toán như yêu cầu của em, thầy sẽ giải bằng 3 phương pháp có tên như sau:
- PP tính gián tiếp (thông qua thể tích) (PP này đã học ở đầu năm lớp 12)
- PP tính bằng công cụ hình giải tích Oxyz (PP này đã học ở đầu học kỳ II lớp 12)
- PP tính trực tiếp bằng cách dựng đoạn vuông góc. (Cái này thì ở kỳ II lớp 11)
*) PP tính gián tiếp:
Ta có: Góc $\ \left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA} = {60^0}.$
Khi đó: $\ {V_{S.BCM}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta BCM}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.$
Mặt khác, $\ {V_{S.BCM}} = \frac{1}{3}.d\left( {B \to \left( {SMC} \right)} \right).{S_{\Delta SMC}}$
Áp dụng các hệ thức Pi-ta-go ta tính được:
$\ {SM = \frac{{a\sqrt {13} }}{2};\,MC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2};\,SC = a\sqrt 5 }.$
$\ cos\widehat {SCM} = \frac{{S{C^2} + M{C^2} - S{M^2}}}{{2SC.MC}} = \frac{3}{5}.$
$\ \Rightarrow \sin \widehat {SCM} = \sqrt {1 - co{s^2}\widehat {SCM}} = \frac{4}{5}.$
$\ \Rightarrow {S_{\Delta SMC}} = \frac{1}{2}SC.MC.\sin \widehat {SCM} = {a^2}.$
$\ \Rightarrow d\left( {B \to \left( {SMC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.BCM}}}}{{{S_{\Delta SMC}}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.$
*) PP gắn tọa độ (Giải tích hóa):
Cái khó ở phương pháp này là làm sao chọn được gốc tọa độ, thứ tự các trục như thế nào cho đúng.
Thầy sẽ có một quy tắc thú vị như sau để các em ứng dụng khi cần thiết. Gọi là quy tắc xét "góc tam diện thuận" như sau:
- Ta chọn gốc tọa độ tại vị trí có 3 đường thẳng cùng vuông góc với nhau ở đó.
- Thứ tự các trục Ox, Oy, Oz như sau:
"Nếu ta đứng theo trục Oz, mắt nhìn về trục Oy, thì tay phải chỉ ra vuông góc với thân sẽ là trục Ox"
Thầy chọn như sau: $\ \left( {O;Ox;Oy;Oz} \right) \equiv \left( {B,BC,BA,Bz} \right).$
Khi đó sử dụng PP xác đinh tọa độ ta xác định được tọa độ của tất cả các điểm như hình vẽ sau.
Cũng có rất nhiều cách lập PTMP (SMC) nhưng để cho nhanh, thầy dùng PP mặt chắn.
PTMP (SMC) có dạng: $\ \frac{x}{a} + \frac{{2y}}{a} + \frac{z}{m} = 1.$
Do $\ S \in \left( {SMC} \right) \Rightarrow 2 + \frac{{a\sqrt 3 }}{m} = 1 \Leftrightarrow m = - a\sqrt 3 .$
$\ \left( {SMC} \right):x\sqrt 3 + 2y\sqrt 3 - z - a\sqrt 3 = 0.$
$\ d\left( {B \to \left( {SMC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - a\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {3 + 12 + 1} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.$
*) PP tính trực tiếp:
Tất cả chỉ là giải tam giác (tính các cạnh thôi).
Thầy gợi ý cách dựng như sau:
- Bước 1: Trong (SBC) dựng BH vuông góc SC tại H.
- Bước 2: Tìm giao tuyến của (SMC) và (BHK).
- Bước 3: Dựng BL vuông góc với giao tuyến đó tại L.
Vậy BL chính là đoạn vuông góc cần dựng.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét