Một bài Bất Đẳng Thức khá khoai.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Micale Cat và bạn Tau Thích Mi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:
$\ \frac{{{x^3} + 1}}{{\sqrt {{x^4} + y + z} }} + \frac{{{y^3} + 1}}{{\sqrt {{y^4} + z + x} }} + \frac{{{z^3} + 1}}{{\sqrt {{z^4} + x + y} }} \ge 2\sqrt {xy + yz + zx} .$
Hướng dẫn tư duy:
Bạn đọc sẽ rất khó hiểu và đặt câu hỏi "Tại sao lại làm như vậy?" nếu không có hướng dẫn tư duy sau đây:
$\ 2\sqrt {xy + yz + zx}  = \frac{{2\left( {x + y + z} \right)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} = \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} + \frac{{2y\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} + \frac{{2z\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}.$
Như vậy biểu thức nào xuất hiện biến x cả trên tử và dưới mẫu ta ghép với $\ \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}$ (Còn lại tương tự).
Và ta sẽ đi chứng minh các bất đẳng thức "nhỏ" đó, để nghĩ là cộng 3 BĐT cùng chiều lại.

Giải:
Ta sẽ chứng minh: $\ \frac{{{x^3} + 1}}{{\sqrt {{x^4} + y + z} }} \ge \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}.$
Thật vậy, $\ 2x\sqrt {\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {{x^4} + y + z} \right)}  = 2\sqrt {\left( {{x^2}y + xyz + z{x^2}} \right)\left( {{x^5} + xy + xz} \right)} .$
$\  = 2\sqrt {\left( {{x^3}y + {x^2}yz + {x^3}z} \right)\left[ {{x^4} + \left( {y + z} \right)xyz} \right]}  = 2\sqrt {\left( {{x^3}y + {x^2}yz + {x^3}z} \right)\left( {{x^4} + x{y^2}z + xy{z^2}} \right)} .$
$\ \mathop { \le \,}\limits^{Cauchy} {x^3}y + {x^2}yz + {x^3}z + {x^4} + x{y^2}z + xy{z^2} = {x^3}\left( {x + y + z} \right) + xyz\left( {x + y + z} \right) = \left( {{x^3} + 1} \right)\left( {x + y + z} \right).$
$\  \Rightarrow \frac{{{x^3} + 1}}{{\sqrt {{x^4} + y + z} }} \ge \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}.$ Tương tự: $\ \frac{{{y^3} + 1}}{{\sqrt {{y^4} + z + x} }} \ge \frac{{2y\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}};\,\frac{{{z^3} + 1}}{{\sqrt {{z^4} + x + y} }} \ge \frac{{2z\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}.$
Cộng 3 BĐT lại ta được:
$\ \frac{{{x^3} + 1}}{{\sqrt {{x^4} + y + z} }} + \frac{{{y^3} + 1}}{{\sqrt {{y^4} + z + x} }} + \frac{{{z^3} + 1}}{{\sqrt {{z^4} + x + y} }} \ge \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} + \frac{{2y\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} + \frac{{2z\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} = 2\sqrt {xy + yz + zx} .$
Vậy BĐT đã được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
xyz = 1\\
{x^3}y + {x^2}yz + {x^3}z = {x^4} + x{y^2}z + xy{z^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xyz = 1\\
\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {y + z - x} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = yz = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
xyz = 1\\
x = y + z
\end{array} \right.
\end{array} \right.$