Thực tế cho thấy những năm gần đây đề thi ĐH&CĐ môn Toán gợi lại rất nhiều kiến thức lớp dưới, phần hình học giải tích cũng không ngoại lệ. Trong hình học giải tích Oxy đòi hỏi chúng ta phải biết phát hiện một số “tính chất đặc biệt” hay các “bài toán nhỏ” ở lớp dưới: Trong tam giác (ở lớp 7), trong các tứ giác (ở lớp 8), trong đường tròn (ở lớp 9), trong elip (ở lớp 10) và trong hình học không gian (ở lớp 11).
Vậy phương pháp học các dạng toán này như thế nào thì hợp lý? Khi mà mỗi bài toán được xem như một dạng toán. Chính vì lẽ đó, thầy xin giới thiệu với các em hai phương pháp tiếp cận các dạng toán này mà thầy rất tâm đắc và được các bạn học sinh đón nhận rất tích cực như sau:
- Sử dụng bản đồ tư duy thống kê các dạng toán thường gặp.
- Coi mỗi bài toán hình giải tích như một chuỗi phản ứng hóa học.
A. Sử dụng sơ đồ tư duy:
Để kiến thức mà chúng ta được tiếp nhận không bị xáo trộn. Để kiểm soát được tất cả các dạng toán hình học giải tích chúng ta bắt gặp trong quá trình ôn luyện cũng như thi cử, chúng ta hãy thống kê lại các dạng toán và những phương pháp giải chúng ngay trên một công cụ giống như sơ đồ cây và được gọi là bản đồ tư duy (iMinmap). Khi bắt gặp một bài tập hình học giải tích chúng ta hoàn toàn có thể quy nó về một dạng toán nói đến trong bản đồ tư duy. Từ đó quy chiếu và hình dung ra phương pháp giải các dạng toán đó.
Về hình học giải tích Oxy; Oxyz và căn cứ vào cấu trúc đề thi ĐH&CĐ của những năm qua.
Thầy có thể minh họa qua bản đồ tư duy sau đây, mỗi dạng toán, các bạn hãy thử suy nghĩ cách giải tổng quát cho chúng và có thể bổ sung thêm các ví dụ để phương pháp này thực sự hoàn chỉnh. Làm kim chỉ nam cho các bạn trong quá trình học:
(Sơ đồ tư duy các dạng toán HHGT không gian – Oxyz)
Không chỉ riêng hình học giải tích. Trong tất cả các chuyên đề LTĐH khác hoặc rộng hơn là cả các môn thi ĐH khác chúng ta vẫn có thể sử dụng sơ đồ tư duy để thống kê lại những đơn vị kiến thức cần nắm vững, cách giải quyết chúng mỗi khi gặp phải. Đó được xem như một thống kê rất khoa học và rất dễ nhớ bằng hình ảnh.
B. Coi mỗi bài toán hình giải tích như một chuỗi phản ứng hóa học:
Phương pháp này có lẽ mới so với các bạn. Nhưng vì các bạn chưa để ý nên chưa phát hiện được mối liên hệ thú vị này. Rõ ràng khi giải toán hình học giải tích, chúng ta rất cần những “điểm chốt” quan trọng để đi đến kết quả cuối cùng. Điều này được liên tưởng đến “các hợp chất” trong chuỗi phản ứng hóa học để điều chế được một hợp chất cuối cùng. Hãy còn quan sát 2 chuỗi phản ứng trong hóa học hữu cơ, lẫn vô cơ sau đây nhé!
Như vậy, khi tiếp cận các bài toán hình học giải tích, hãy khoan sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải luôn mà hãy sử dụng kiến thức hình học thuần túy (hình sơ cấp) để tìm ra những “điểm chốt” của bài toán trước. Việc này được xem như con đường đi của bài toán, nó quyết định bạn có giải được bài toán đó một cách trọn vẹn hay chỉ xác định những yếu tố không cần xác định bằng phương pháp giải tích. Nếu đã có một con đường đi rõ ràng, việc sử dụng kiến thức hình học giải tích để đi hết những con đường nhỏ trong sơ đồ đó không có gì là khó khăn nữa.
Một chức năng rất hữu dụng của phương pháp học này mà các bạn rất dễ thấy. Đó là khi chúng ta được học ở bạn bè, hay ở các thầy cô. Nếu thực sự cần ghi chép lại lời giải của bài toán, thầy khuyên các em chỉ phác họa lại sơ đồ trên gồm các “điểm chốt” quan trọng của bài toán. Sau đó về nhà, nhìn lại sơ đồ đó và trình bày thành một bài giải hoàn chỉnh theo cách nghĩ của mình, rồi đối chiếu lại kết quả cuối cùng. Thầy chắc là các bạn sẽ tiến bộ và làm quen được rất nhiều bài toán trong quá trình ôn tập mà lại tiết kiệm được thời gian.
Sau đây thầy sẽ lấy ví dụ cho các bạn những con đường như thế trong bài toán hình học giải tích phẳng và hình học giải tích không gian nhé!
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;-1) và phương trình hai đường trung tuyến $BM:8x-y-3=0;\,\,CN:14x-13y-9=0.$Tính toạ độ các đỉnh B, C.
Hướng dẫn giải: Ta có hai chuỗi phản ứng (2 sơ đồ) tương ứng với 2 cách giải quyết bài toán này như sau.
Lời giải:
- Tìm B: Gọi N(a;b) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 8\left( 2a-4 \right)-\left( 2b+1 \right)-3=0 \\ & 14a-13b-9=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow N\left( \frac{5}{2};2 \right)\Rightarrow B\left( 1;5 \right)$
- Tìm C: Gọi $M\left( m;n \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& C\left( 2m-4;2n+1 \right)\in CN \\
& M\in BM \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& 14\left( 2m-4 \right)-13\left( 2n+1 \right)-9=0 \\
& 8m-n-3=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow N\left( 0;-3 \right)\Rightarrow C\left( -4;-5 \right)$
Ví dụ 2:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng $\ ({{d}_{1}}),({{d}_{2}}).$ và mặt phẳng (P) có phương trình: $\ ({{d}_{1}}):\ \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{1};({{d}_{2}}):\ \frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{5}=\frac{z}{-2}.$; $\ (P):\ 2x-y-5z+1=0$.
Viết phương trình đường thẳng $\ \Delta$ vuông góc với (P), cắt cả $\ ({{d}_{1}}),({{d}_{2}}).$
Hướng dẫn giải:
Lời giải:
Ta có: và $\ {{M}_{1}}(-1;1;2)\in \left( {{d}_{1}} \right);\ {{M}_{2}}(2;-2;0)\in \left( {{d}_{2}} \right).$
$\ \Rightarrow \;\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \, = (3; - 3; - 2)\; \Rightarrow \left[ {{{\overrightarrow u }_{({d_1})}}.{{\overrightarrow u }_{({d_2})}}} \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 62 \ne 0.$
Khi đó 2 đường thẳng đã cho chéo nhau.
Giả sử $\ {d_1} \cap \Delta = A \Rightarrow A(2{t_1} - 1;3{t_1} + 1;{t_1} + 2)\,\,;\;{d_2} \cap \Delta = B.$
$\ \Rightarrow B({t_2} + 2;5{t_2} - 2; - 2{t_2}) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ({t_2} - 2{t_1} + 3;5{t_2} - 3{t_1} - 3; - 2{t_2} - {t_1} - 2).$
Do $\ \Delta \bot (P) \Rightarrow (2; - 1; - 5) = {\overrightarrow n _{(P)}} \uparrow \uparrow \overrightarrow {AB} \Rightarrow \frac{{{t_2} - 2{t_1} + 3}}{2} = \frac{{5{t_2} - 3{t_1} - 3}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2{t_2} - {t_1} - 2}}{{ - 5}}.$
$\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{t_2} - 2{t_1} - 3}}{2} = \frac{{5{t_2} - 3{t_1} - 3}}{{ - 1}}\\
\frac{{{t_2} - 2{t_1} - 3}}{2} = \frac{{ - 2{t_2} - {t_1} - 2}}{{ - 5}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8{t_1} - 11{t_2} = - 3\\
12{t_1} - {t_2} = 11
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = 1\\
{t_2} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A\left( {1;4;3} \right)\\
\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1; - 5} \right)
\end{array} \right.$
vẫn dụng phương pháp học mới của thầy xem nhé! Có hình ảnh, có sơ đồ toán học có thể sẽ thú vị hơn
với các em, thay vì xưa nay vẫn khô khan với những con số.
Thầy chúc các em lựa chọn cho mình phương pháp học tập hiệu quả và đạt kết quả cao nhất.
Ví dụ 2:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng $\ ({{d}_{1}}),({{d}_{2}}).$ và mặt phẳng (P) có phương trình: $\ ({{d}_{1}}):\ \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{1};({{d}_{2}}):\ \frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{5}=\frac{z}{-2}.$; $\ (P):\ 2x-y-5z+1=0$.
Viết phương trình đường thẳng $\ \Delta$ vuông góc với (P), cắt cả $\ ({{d}_{1}}),({{d}_{2}}).$
Hướng dẫn giải:
Lời giải:
Ta có: và $\ {{M}_{1}}(-1;1;2)\in \left( {{d}_{1}} \right);\ {{M}_{2}}(2;-2;0)\in \left( {{d}_{2}} \right).$
$\ \Rightarrow \;\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \, = (3; - 3; - 2)\; \Rightarrow \left[ {{{\overrightarrow u }_{({d_1})}}.{{\overrightarrow u }_{({d_2})}}} \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 62 \ne 0.$
Khi đó 2 đường thẳng đã cho chéo nhau.
Giả sử $\ {d_1} \cap \Delta = A \Rightarrow A(2{t_1} - 1;3{t_1} + 1;{t_1} + 2)\,\,;\;{d_2} \cap \Delta = B.$
$\ \Rightarrow B({t_2} + 2;5{t_2} - 2; - 2{t_2}) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ({t_2} - 2{t_1} + 3;5{t_2} - 3{t_1} - 3; - 2{t_2} - {t_1} - 2).$
Do $\ \Delta \bot (P) \Rightarrow (2; - 1; - 5) = {\overrightarrow n _{(P)}} \uparrow \uparrow \overrightarrow {AB} \Rightarrow \frac{{{t_2} - 2{t_1} + 3}}{2} = \frac{{5{t_2} - 3{t_1} - 3}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2{t_2} - {t_1} - 2}}{{ - 5}}.$
$\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{t_2} - 2{t_1} - 3}}{2} = \frac{{5{t_2} - 3{t_1} - 3}}{{ - 1}}\\
\frac{{{t_2} - 2{t_1} - 3}}{2} = \frac{{ - 2{t_2} - {t_1} - 2}}{{ - 5}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8{t_1} - 11{t_2} = - 3\\
12{t_1} - {t_2} = 11
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = 1\\
{t_2} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A\left( {1;4;3} \right)\\
\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1; - 5} \right)
\end{array} \right.$
Vậy đường thẳng cần tìm là $\ (\Delta ):\;\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}.$
Nếu quả thực những phương pháp dạy và học cổ điển vẫn chưa gây tác dụng mạnh đến các bạn. Hãyvẫn dụng phương pháp học mới của thầy xem nhé! Có hình ảnh, có sơ đồ toán học có thể sẽ thú vị hơn
với các em, thay vì xưa nay vẫn khô khan với những con số.
Thầy chúc các em lựa chọn cho mình phương pháp học tập hiệu quả và đạt kết quả cao nhất.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét