Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: $\ {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy \le 2\left( {x + y + z} \right).$
Tìm Min $\ P = {x^2} + {y^2} + 2z + \frac{{40}}{{\sqrt {y + z + 1} }} + \frac{{40}}{{\sqrt {x + 3} }}.$
Giải:
Bài toán vẫn sử dụng kĩ thuật: "Dồn biến và chọn điểm rơi". Hoàn toàn tương tự bài NÀY.
Cảm giác như: "Rượu mới, bình cũ" thôi!
- Xử lý điều kiện:
Ta có: $\ {\left( {x + y + z} \right)^2} = {\left[ {1.\left( {x + y} \right) + 1.z} \right]^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + {z^2}} \right] = 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy} \right).$
$\ \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \le 4\left( {x + y + z} \right) \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {x + y + z - 4} \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 < x + y + z \le 4.$
- Xử lý biểu thức nhờ chọn điểm rơi:
Hãy nhớ rằng: Khi xử lý điều kiện ta đã có x+y=z rồi nhé!
$\ P = \left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {{y^2} + 1} \right) + 2z + 160\left( {\frac{1}{{2\sqrt {4\left( {y + z + 1} \right)} }} + \frac{1}{{2\sqrt {4\left( {x + 3} \right)} }}} \right) - 2.$
Dùng Cauchy ta có:
$\ P \ge 2\left( {x + y + z} \right) + 160\left( {\frac{1}{{y + z + 5}} + \frac{1}{{x + 7}}} \right) - 2.$
$\ \Leftrightarrow P \ge 2\left( {x + y + z} \right) + \frac{{640}}{{x + y + z + 12}} - 2 = 2\left( {t - 12} \right) + \frac{{640}}{t} - 2 = 2t + \frac{{640}}{t} - 26 = f\left( t \right)\left( {12 < t \le 16} \right).$
$\ \Rightarrow f'\left( t \right) = 2 - \frac{{640}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 8\sqrt 5 \notin \left( {12;16} \right] \Rightarrow Min\,P = f\left( {16} \right) = 46.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: (x;y;z) = (1;1;2).
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét