Đề bài: (Bài BĐT được nhiều bạn đọc hỏi - Tôi Yêu Toán Học trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: $\ {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy \le 2\left( {x + y + z} \right).$
Tìm Min $\ P = {x^2} + {y^2} + 2z + \frac{{40}}{{\sqrt {y + z + 1} }} + \frac{{40}}{{\sqrt {x + 3} }}.$
Giải:
Bài toán vẫn sử dụng kĩ thuật: "Dồn biến và chọn điểm rơi". Hoàn toàn tương tự bài NÀY.
Cảm giác như: "Rượu mới, bình cũ" thôi!
- Xử lý điều kiện:
Ta có: $\ {\left( {x + y + z} \right)^2} = {\left[ {1.\left( {x + y} \right) + 1.z} \right]^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + {z^2}} \right] = 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy} \right).$
$\ \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \le 4\left( {x + y + z} \right) \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {x + y + z - 4} \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 < x + y + z \le 4.$
Thứ Hai, 27 tháng 1, 2014
Tìm Min: $\ P = a + b + c + 48\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {a + 10} }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + c}}}}} \right).$
Đề bài: (Bài của bạn Micale Cat hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học và trên Hoctainha.vn)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: $\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 5\left( {a + b + c} \right) - 2ab.$
Tìm Min của $\ P = a + b + c + 48\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {a + 10} }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + c}}}}} \right).$
Giải:
Một bài toán rất tuyệt, dạy cho chúng ta "Nghệ thuật chọn điểm rơi và kĩ năng dồn biến".
Bài toán chia làm 2 công đoạn sau đây:
- Dồn biến về a+b+c.
- Chọn điểm rơi cho các BĐT Côsi xảy ra thuận lợi cho dồn biến.
*) Khai thác giả thiết và dồn về a+b+c:
Ta có: $\ {\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {c^2}} \right] = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab} \right) = 10\left( {a + b + c} \right).$
$\ \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left[ {\left( {a + b + c} \right) - 10} \right] \le 0 \Leftrightarrow a + b + c \le 10\left( {a + b + c > 0} \right).$
Đọc tiếp
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: $\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 5\left( {a + b + c} \right) - 2ab.$
Tìm Min của $\ P = a + b + c + 48\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {a + 10} }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + c}}}}} \right).$
Giải:
Một bài toán rất tuyệt, dạy cho chúng ta "Nghệ thuật chọn điểm rơi và kĩ năng dồn biến".
Bài toán chia làm 2 công đoạn sau đây:
- Dồn biến về a+b+c.
- Chọn điểm rơi cho các BĐT Côsi xảy ra thuận lợi cho dồn biến.
*) Khai thác giả thiết và dồn về a+b+c:
Ta có: $\ {\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {c^2}} \right] = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab} \right) = 10\left( {a + b + c} \right).$
$\ \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left[ {\left( {a + b + c} \right) - 10} \right] \le 0 \Leftrightarrow a + b + c \le 10\left( {a + b + c > 0} \right).$
Chủ Nhật, 26 tháng 1, 2014
Tính giới hạn $\ L=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1-\sqrt[3]{x} \right)\left( 1-\sqrt[4]{x} \right)\left( 1-\sqrt[5]{x} \right)}{{{\left( 1-x \right)}^{5}}}.$
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Minh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính giới hạn $\ L=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1-\sqrt[3]{x} \right)\left( 1-\sqrt[4]{x} \right)\left( 1-\sqrt[5]{x} \right)}{{{\left( 1-x \right)}^{5}}}.$
Giải:
$\ L=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1-\sqrt[3]{x} \right)\left( 1-\sqrt[4]{x} \right)\left( 1-\sqrt[5]{x} \right)}{{{\left( 1-x \right)}^{5}}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}.\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}.\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt[4]{x}}{1-x}.\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt[5]{x}}{1-x}.$
Đọc tiếp
Tính giới hạn $\ L=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1-\sqrt[3]{x} \right)\left( 1-\sqrt[4]{x} \right)\left( 1-\sqrt[5]{x} \right)}{{{\left( 1-x \right)}^{5}}}.$
Giải:
$\ L=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1-\sqrt[3]{x} \right)\left( 1-\sqrt[4]{x} \right)\left( 1-\sqrt[5]{x} \right)}{{{\left( 1-x \right)}^{5}}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}.\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}.\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt[4]{x}}{1-x}.\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt[5]{x}}{1-x}.$
Thứ Bảy, 25 tháng 1, 2014
Giới hạn $\ L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}^2}}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}}.$
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Lương Xuân Sơn trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho dãy số $\ \left\{ {{u_n}} \right\}$ thoả mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \sqrt {2015} \\
{u_{n + 1}} = u_n^2 - 2
\end{array} \right.$ Tính $\ L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}^2}}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}}.$
Giải:
Ta có: $\ {u_{n + 1}} = u_n^2 - 2 \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 - 4 = {\left( {u_n^2 - 2} \right)^2} - 4 = u_{_n}^2\left( {u_{_n}^2 - 4} \right) = u_n^2.u_{n - 1}^2\left( {u_{_{n - 1}}^2 - 4} \right) = u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2\left( {u_{_1}^2 - 4} \right).$
Đọc tiếp
Cho dãy số $\ \left\{ {{u_n}} \right\}$ thoả mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \sqrt {2015} \\
{u_{n + 1}} = u_n^2 - 2
\end{array} \right.$ Tính $\ L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}^2}}{{u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2}}.$
Giải:
Ta có: $\ {u_{n + 1}} = u_n^2 - 2 \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 - 4 = {\left( {u_n^2 - 2} \right)^2} - 4 = u_{_n}^2\left( {u_{_n}^2 - 4} \right) = u_n^2.u_{n - 1}^2\left( {u_{_{n - 1}}^2 - 4} \right) = u_n^2.u_{n - 1}^2...u_1^2\left( {u_{_1}^2 - 4} \right).$
Thứ Sáu, 24 tháng 1, 2014
Một bài Bất Đẳng Thức khá khoai.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Micale Cat và bạn Tau Thích Mi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:
$\ \frac{{{x^3} + 1}}{{\sqrt {{x^4} + y + z} }} + \frac{{{y^3} + 1}}{{\sqrt {{y^4} + z + x} }} + \frac{{{z^3} + 1}}{{\sqrt {{z^4} + x + y} }} \ge 2\sqrt {xy + yz + zx} .$
Hướng dẫn tư duy:
Bạn đọc sẽ rất khó hiểu và đặt câu hỏi "Tại sao lại làm như vậy?" nếu không có hướng dẫn tư duy sau đây:
$\ 2\sqrt {xy + yz + zx} = \frac{{2\left( {x + y + z} \right)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} = \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} + \frac{{2y\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} + \frac{{2z\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}.$
Như vậy biểu thức nào xuất hiện biến x cả trên tử và dưới mẫu ta ghép với $\ \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}$ (Còn lại tương tự).
Và ta sẽ đi chứng minh các bất đẳng thức "nhỏ" đó, để nghĩ là cộng 3 BĐT cùng chiều lại.
Đọc tiếp
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:
$\ \frac{{{x^3} + 1}}{{\sqrt {{x^4} + y + z} }} + \frac{{{y^3} + 1}}{{\sqrt {{y^4} + z + x} }} + \frac{{{z^3} + 1}}{{\sqrt {{z^4} + x + y} }} \ge 2\sqrt {xy + yz + zx} .$
Hướng dẫn tư duy:
Bạn đọc sẽ rất khó hiểu và đặt câu hỏi "Tại sao lại làm như vậy?" nếu không có hướng dẫn tư duy sau đây:
$\ 2\sqrt {xy + yz + zx} = \frac{{2\left( {x + y + z} \right)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} = \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} + \frac{{2y\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}} + \frac{{2z\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}.$
Như vậy biểu thức nào xuất hiện biến x cả trên tử và dưới mẫu ta ghép với $\ \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}$ (Còn lại tương tự).
Và ta sẽ đi chứng minh các bất đẳng thức "nhỏ" đó, để nghĩ là cộng 3 BĐT cùng chiều lại.
Thứ Tư, 22 tháng 1, 2014
Bất đẳng thức: $\ \frac{1}{x}\cos A + \frac{1}{y}\,\cos B + \frac{1}{z}\cos C \le \frac{x}{{2yz}} + \frac{y}{{2zx}} + \frac{z}{{2xy}}.$
Đề bài: (Bài của bạn Micale Cat hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho tam giác ABC và các số thực dương x, y, z. CMR: $\ \frac{1}{x}\cos A + \frac{1}{y}\,\cos B + \frac{1}{z}\cos C \le \frac{x}{{2yz}} + \frac{y}{{2zx}} + \frac{z}{{2xy}}.$
Giải:
Ta có: BĐT $\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 2yz\cos A + 2zx\,\cos B + 2xy\cos C.$
$\ \Leftrightarrow {\left[ {z - \left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)} \right]^2} - {\left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)^2} + {x^2} + {y^2} + 2xycos\left( {A + B} \right) \ge 0.$
$\ \Leftrightarrow {\left[ {z - \left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)} \right]^2} + {x^2}\left( {1 - {{\cos }^2}B} \right) + {y^2}\left( {1 - {{\cos }^2}A} \right) - 2xy\sin A\sin B \ge 0.$
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC và các số thực dương x, y, z. CMR: $\ \frac{1}{x}\cos A + \frac{1}{y}\,\cos B + \frac{1}{z}\cos C \le \frac{x}{{2yz}} + \frac{y}{{2zx}} + \frac{z}{{2xy}}.$
Giải:
Ta có: BĐT $\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 2yz\cos A + 2zx\,\cos B + 2xy\cos C.$
$\ \Leftrightarrow {\left[ {z - \left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)} \right]^2} - {\left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)^2} + {x^2} + {y^2} + 2xycos\left( {A + B} \right) \ge 0.$
$\ \Leftrightarrow {\left[ {z - \left( {y\cos A + x\,\cos B} \right)} \right]^2} + {x^2}\left( {1 - {{\cos }^2}B} \right) + {y^2}\left( {1 - {{\cos }^2}A} \right) - 2xy\sin A\sin B \ge 0.$
Thứ Sáu, 17 tháng 1, 2014
Giải chi tiết đề thi thử ĐH số 5 - Báo THTT số 439 tháng 01/2014.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm) : Cho hàm số $\ y=\frac{x-5}{x-2}(C).$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B thỏa mãn 3OA = 4OB.
Câu 2 (1 điểm) : Giải phương trình $\ 2{{\cos }^{3}}x-3\cos x+2\sin x{{\cos }^{2}}x+\sin x=0.$
Câu 3 (1 điểm) : Giải phương trình $\ \sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1}+\sqrt{1-3x}=2\sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
Câu 4 (1 điểm) : Tính tích phân $\ I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{e}^{x}}\sin xdx}{{{(\sin x+\cos x)}^{2}}}}.$
Câu 5 (1 điểm) : Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa AC’ và đáy (ABC) là 60. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ theo a.
Câu 6 (1 điểm) : Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$\ P=4{{(a+b+c)}^{2}}+3\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right).$
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh được chọn một trong hai phần
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7a (1 điểm) : Trong mặt phẳng Oxy cho elip $\ (E):\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$ và điểm I(1;2). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm I và cắt elip (E) tại hai điểm A và B sao cho I là trung điểm của AB.
Câu 8a (1 điểm) : Trong mặt phẳng Oxyz cho hai điểm A(0;0; - 3) và B( 2; 0; - 1 ) và mặt phẳng (P) : 3x – 8y + 7z – 1 = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB vuông cân tại M.
Câu 9a (1 điểm) : Tìm số phức z có modun nhỏ nhất biết rằng $\ \left| z-2+i \right|=\sqrt{2}\left| z+1-i \right|.$
B . Theo chương trình nâng cao
Câu 7b (1 điểm) : Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết rằng AB, CD lần lượt đi qua các điểm P(2;1) và Q(3;5) còn BC và AD lần lượt đi qua các điểm R(0;1) và S( - 3 ; - 1)
Câu 8b (1 điểm) : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\ (d):\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}.$ và mặt cầu $\ (S):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=2.$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu 9b (1 điểm) : Tìm số phức z có modun nhỏ nhất biết rằng $\ \left| z-2 \right|+\left| z+2 \right|=6.$
Đọc tiếp
Câu 1 (2 điểm) : Cho hàm số $\ y=\frac{x-5}{x-2}(C).$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B thỏa mãn 3OA = 4OB.
Câu 2 (1 điểm) : Giải phương trình $\ 2{{\cos }^{3}}x-3\cos x+2\sin x{{\cos }^{2}}x+\sin x=0.$
Câu 3 (1 điểm) : Giải phương trình $\ \sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1}+\sqrt{1-3x}=2\sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
Câu 4 (1 điểm) : Tính tích phân $\ I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{e}^{x}}\sin xdx}{{{(\sin x+\cos x)}^{2}}}}.$
Câu 5 (1 điểm) : Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa AC’ và đáy (ABC) là 60. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ theo a.
Câu 6 (1 điểm) : Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$\ P=4{{(a+b+c)}^{2}}+3\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right).$
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh được chọn một trong hai phần
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7a (1 điểm) : Trong mặt phẳng Oxy cho elip $\ (E):\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$ và điểm I(1;2). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm I và cắt elip (E) tại hai điểm A và B sao cho I là trung điểm của AB.
Câu 8a (1 điểm) : Trong mặt phẳng Oxyz cho hai điểm A(0;0; - 3) và B( 2; 0; - 1 ) và mặt phẳng (P) : 3x – 8y + 7z – 1 = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB vuông cân tại M.
Câu 9a (1 điểm) : Tìm số phức z có modun nhỏ nhất biết rằng $\ \left| z-2+i \right|=\sqrt{2}\left| z+1-i \right|.$
B . Theo chương trình nâng cao
Câu 7b (1 điểm) : Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết rằng AB, CD lần lượt đi qua các điểm P(2;1) và Q(3;5) còn BC và AD lần lượt đi qua các điểm R(0;1) và S( - 3 ; - 1)
Câu 8b (1 điểm) : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\ (d):\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}.$ và mặt cầu $\ (S):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=2.$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu 9b (1 điểm) : Tìm số phức z có modun nhỏ nhất biết rằng $\ \left| z-2 \right|+\left| z+2 \right|=6.$
---------------------------------Hết-------------------------------------
Thứ Năm, 16 tháng 1, 2014
Đề thi thử ĐH lần I - Hmath (sưu tầm nhưng rất hay)
Hình thức nộp, chấm và trả bài:
- Tất cả các bài thi được gửi về hòm thư: Hmath360@gmail.com.
Chú ý: Trong bài thi, thí sinh ghi rõ họ và tên, địa chỉ email
- Thời gian: Từ 15h ngày 16/01/2014 đến 15h ngày 17/01/2014.
- Bài thi được công bố điểm qua nick facebook, qua email và trả bài qua email bằng thư reply.
- Tất cả quy trình thi thử được hoạt động online: Phát đề, làm bài, thu bài, chấm bài và trả bài.
Chúc các em làm bài tốt!
Thứ Tư, 15 tháng 1, 2014
PHƯƠNG PHÁP ÔN THI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH HIỆU QUẢ.
Như chúng ta đã biết hình học giải tích bao gồm hình học giải tích phẳng (Oxy) và hình học giải tích không gian (Oxyz) đều nằm trong cấu trúc đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ rất nhiều năm nay (cụ thể chúng đều ở phần tự chọn ở cả chương trình Chuẩn và chương trình Nâng cao).
Thực tế cho thấy những năm gần đây đề thi ĐH&CĐ môn Toán gợi lại rất nhiều kiến thức lớp dưới, phần hình học giải tích cũng không ngoại lệ. Trong hình học giải tích Oxy đòi hỏi chúng ta phải biết phát hiện một số “tính chất đặc biệt” hay các “bài toán nhỏ” ở lớp dưới: Trong tam giác (ở lớp 7), trong các tứ giác (ở lớp 8), trong đường tròn (ở lớp 9), trong elip (ở lớp 10) và trong hình học không gian (ở lớp 11).
Vậy phương pháp học các dạng toán này như thế nào thì hợp lý? Khi mà mỗi bài toán được xem như một dạng toán. Chính vì lẽ đó, thầy xin giới thiệu với các em hai phương pháp tiếp cận các dạng toán này mà thầy rất tâm đắc và được các bạn học sinh đón nhận rất tích cực như sau:
- Sử dụng bản đồ tư duy thống kê các dạng toán thường gặp.
- Coi mỗi bài toán hình giải tích như một chuỗi phản ứng hóa học.
Đọc tiếp
Thực tế cho thấy những năm gần đây đề thi ĐH&CĐ môn Toán gợi lại rất nhiều kiến thức lớp dưới, phần hình học giải tích cũng không ngoại lệ. Trong hình học giải tích Oxy đòi hỏi chúng ta phải biết phát hiện một số “tính chất đặc biệt” hay các “bài toán nhỏ” ở lớp dưới: Trong tam giác (ở lớp 7), trong các tứ giác (ở lớp 8), trong đường tròn (ở lớp 9), trong elip (ở lớp 10) và trong hình học không gian (ở lớp 11).
Vậy phương pháp học các dạng toán này như thế nào thì hợp lý? Khi mà mỗi bài toán được xem như một dạng toán. Chính vì lẽ đó, thầy xin giới thiệu với các em hai phương pháp tiếp cận các dạng toán này mà thầy rất tâm đắc và được các bạn học sinh đón nhận rất tích cực như sau:
- Sử dụng bản đồ tư duy thống kê các dạng toán thường gặp.
- Coi mỗi bài toán hình giải tích như một chuỗi phản ứng hóa học.
Thứ Hai, 13 tháng 1, 2014
Nhiều cách giải cho một bài hình học không gian.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Micale Cat hỏi trên Facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, BA=BC=a,$\ SA \bot \left( {ABC} \right).$ SB tạo với đáy góc $\ {60^0}$, M là trung điểm của AB. Tính: $\ d\left( {B \to \left( {SMC} \right)} \right).$
Giải: Bài toán như yêu cầu của em, thầy sẽ giải bằng 3 phương pháp có tên như sau:
- PP tính gián tiếp (thông qua thể tích) (PP này đã học ở đầu năm lớp 12)
- PP tính bằng công cụ hình giải tích Oxyz (PP này đã học ở đầu học kỳ II lớp 12)
- PP tính trực tiếp bằng cách dựng đoạn vuông góc. (Cái này thì ở kỳ II lớp 11)
*) PP tính gián tiếp:
Đọc tiếp
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, BA=BC=a,$\ SA \bot \left( {ABC} \right).$ SB tạo với đáy góc $\ {60^0}$, M là trung điểm của AB. Tính: $\ d\left( {B \to \left( {SMC} \right)} \right).$
Giải: Bài toán như yêu cầu của em, thầy sẽ giải bằng 3 phương pháp có tên như sau:
- PP tính gián tiếp (thông qua thể tích) (PP này đã học ở đầu năm lớp 12)
- PP tính bằng công cụ hình giải tích Oxyz (PP này đã học ở đầu học kỳ II lớp 12)
- PP tính trực tiếp bằng cách dựng đoạn vuông góc. (Cái này thì ở kỳ II lớp 11)
*) PP tính gián tiếp:
Tính tích phân: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} .$
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Anonymous hỏi trong mục Post bài tập toán của Blog)
Tính tích phân: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} .$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} - {x^2} + 1 + 2{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} - {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} + 2\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx} .$
$\ = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} + 2\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx} = arctan\,x\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. + \frac{2}{3}arctan\,{x^3}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. = \frac{\pi }{4} + \frac{2}{3}.\frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{{12}}.$
Tính tích phân: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} .$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} - {x^2} + 1 + 2{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} - {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} + 2\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx} .$
$\ = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} + 2\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{x^6} + 1}}dx} = arctan\,x\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. + \frac{2}{3}arctan\,{x^3}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. = \frac{\pi }{4} + \frac{2}{3}.\frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{{12}}.$
Thứ Sáu, 10 tháng 1, 2014
Thứ Năm, 9 tháng 1, 2014
Tính $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {cos\,4x - cos\,2x} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx.$
Đề bài: (Bài của bạn Micale Cat hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {cos\,4x - cos\,2x} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx.$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {2co{s^2}2x - cos\,2x - 1} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {2cos2x + 1} \right)\left( {cos2x - 1} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx.$
Đọc tiếp
Tính $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {cos\,4x - cos\,2x} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx.$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {2co{s^2}2x - cos\,2x - 1} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\left( {2cos2x + 1} \right)\left( {cos2x - 1} \right) + \sin \,2x}}{{{{\sin }^4}x\left( {2cos2x + 1} \right)}}} dx.$
Thứ Tư, 8 tháng 1, 2014
Các quy tắc tính đạo hàm (bằng thơ)
Gửi các bạn đọc giả yêu quý.
Xưa nay học toán chúng ta thấy có một số bài thơ đọc rất vui và ứng dụng rất hiệu quả trong môn Toán.
Ví như công thức tính diện tích hình thang, công thức tính sin, cos, tan, cot...
Việc tiếp cận đạo hàm đôi khi còn bở ngỡ với các bạn lớp 11.
Sau đây sẽ là một bài thơ vui về cách lấy đạo hàm do thầy sưu tầm được.
Đọc tiếp
Xưa nay học toán chúng ta thấy có một số bài thơ đọc rất vui và ứng dụng rất hiệu quả trong môn Toán.
Ví như công thức tính diện tích hình thang, công thức tính sin, cos, tan, cot...
Việc tiếp cận đạo hàm đôi khi còn bở ngỡ với các bạn lớp 11.
Sau đây sẽ là một bài thơ vui về cách lấy đạo hàm do thầy sưu tầm được.
Trăm năm trong cõi người ta
Đạo hàm lười học khéo là lơ mơ.
X mà có mũ (en) n
Đạo hàm ta hạ mũ n đầu tiên
Rồi thì số mũ ở trên
Ta trừ đi 1 ra liền đấy thôi.
$\ \left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}.$
Thứ Hai, 6 tháng 1, 2014
Tìm Min của: $\ P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{a + 3b}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + 3c}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{c + 3a}}}}.$
Đề bài: (Câu BĐT - Đề thi thử ĐH lần I - THPT Cẩm Phả - Quảng Ninh)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn$\ a + b + c = \frac{3}{4}.$ Tìm Min của:
$\ P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{a + 3b}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + 3c}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{c + 3a}}}}.$
Giải:
Bài này dễ dàng chọn điểm rơi được ngay $\ a = b = c = \frac{1}{4} \Rightarrow a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1.$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số (a+3b); 1 và 1 ta có:
$\ \sqrt[3]{{a + 3b}} = \sqrt[3]{{\left( {a + 3b} \right).1.1}} \le \frac{{a + 3b + 2}}{3} \Rightarrow P \ge 3\left( {\frac{1}{{a + 3b + 2}} + \frac{1}{{b + 3c + 2}} + \frac{1}{{c + 3a + 2}}} \right).$
Lại áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
$\ \frac{1}{{a + 3b + 2}} + \frac{1}{{b + 3c + 2}} + \frac{1}{{c + 3a + 2}} \ge \frac{9}{{4\left( {a + b + c} \right) + 6}} = 1 \Rightarrow Min\,P = 1.$
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn$\ a + b + c = \frac{3}{4}.$ Tìm Min của:
$\ P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{a + 3b}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + 3c}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{c + 3a}}}}.$
Giải:
Bài này dễ dàng chọn điểm rơi được ngay $\ a = b = c = \frac{1}{4} \Rightarrow a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1.$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số (a+3b); 1 và 1 ta có:
$\ \sqrt[3]{{a + 3b}} = \sqrt[3]{{\left( {a + 3b} \right).1.1}} \le \frac{{a + 3b + 2}}{3} \Rightarrow P \ge 3\left( {\frac{1}{{a + 3b + 2}} + \frac{1}{{b + 3c + 2}} + \frac{1}{{c + 3a + 2}}} \right).$
Lại áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
$\ \frac{1}{{a + 3b + 2}} + \frac{1}{{b + 3c + 2}} + \frac{1}{{c + 3a + 2}} \ge \frac{9}{{4\left( {a + b + c} \right) + 6}} = 1 \Rightarrow Min\,P = 1.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/4
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)