Hình Oxy: Xác định tọa độ các đỉnh của hình CN ABCD.

Đề bài:  Cho hình chữ nhật ABCD có (AC): x+2y-9=0. Điểm M(0;4) thuộc BC , N(2;8) thuộc CD, diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 6 và điểm C có tung độ nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Giải:

• Tìm tọa độ điểm C:

        Gọi C(9-2c;c) ta có:
        $\ \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {NC}  = \left( {7 - 2c;c - 8} \right)\\
\overrightarrow {MC}  = \left( {9 - 2c;c - 4} \right)
\end{array} \right.$
     

Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 6y = \frac{x}{y} - \sqrt {x - 2y} \,\left( 1 \right)\\ \sqrt {x + \sqrt {x - 2y} } = x + 3y - 2\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Đề bài: Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l}
2 + 6y = \frac{x}{y} - \sqrt {x - 2y} \,\left( 1 \right)\\
\sqrt {x + \sqrt {x - 2y} }  = x + 3y - 2\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Ta có: $\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2y + 6{y^2} = x - y\sqrt {x - 2y} \\
y \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 2y} \right) - y\sqrt {x - 2y}  - 6{y^2} = 0\\
y \ne 0
\end{array} \right.$

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp Thể Tích.

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $\ AB = a;\,\,AD = a\sqrt 3 $. M là trung điểm của AB. H là giao điểm của DM và AC. $\ SH = a\sqrt 6 $ là chiều cao của hình chóp.
Tính khoảng cách từ H đến (SAD)?
Giải:

Trong tam giác ABD có $\ \left\{ \begin{array}{l}
OB = OD\\
MA = MB\\
AO \cap DM = \left\{ H \right\}
\end{array} \right.$

Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ x\left( {5{x^2} + y} \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + y} \right)}^3}} \,\,\,(2) \end{array} \right.$

Đề bài: Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
x\left( {5{x^2} + y} \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + y} \right)}^3}} \,\,\,(2)
\end{array} \right.$
Giải:
Ta có:$\ (2) \Leftrightarrow 4{x^3} + x\left( {{x^2} + y} \right) - \sqrt {{{\left( {{x^2} + y} \right)}^3}}  = 0\,\,\,.$ (*)

Chứng minh: $\ \frac{{\sqrt {2{a^2} + {b^2}} }}{{ab}} + \frac{{\sqrt {2{b^2} + {c^2}} }}{{bc}} + \frac{{\sqrt {2{c^2} + {a^2}} }}{{ac}} \ge \sqrt 3 .$

Đề bài: Cho các số a, b, c thỏa mãn $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
ab + bc + ca = abc
\end{array} \right.$
CMR: $\ \frac{{\sqrt {2{a^2} + {b^2}} }}{{ab}} + \frac{{\sqrt {2{b^2} + {c^2}} }}{{bc}} + \frac{{\sqrt {2{c^2} + {a^2}} }}{{ac}} \ge \sqrt 3 .$
Giải:
Ta có: $\ ab + bc + ca = abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.$

Tính tích phân $\ I = \int_0^1 {\frac{{\ln \left( {2{x^2} + 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} .dx.$

Đề bài: Tính tích phân $\ I = \int_0^1 {\frac{{\ln \left( {2{x^2} + 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} .dx.$
Giải:
Đặt: $\ \left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {2{x^2} + 4x + 1} \right)\\
dv = \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{2{x^2} + 4x + 1}}.dx\\
v =  - \frac{1}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}
\end{array} \right.$

Giải bất phương trình sau: $\ 2\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} < 1 + \frac{{{x^3} - 36}}{{\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}}}}.$

Đề bài: (Bài BPT nhiều bạn hỏi)
Giải bất phương trình sau: $\ 2\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} < 1 + \frac{{{x^3} - 36}}{{\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}}}}.$
Giải:
Đặt $\ t = \sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} \Rightarrow t > 0\left( {2{x^2} - x + 36 > 0} \right).$

Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l} {y^4} - 2x{y^2} + 7{y^2} = - {x^2} + 7x + 8\\ \sqrt {3{y^2} + 13} - \sqrt {15 - 2x} = \sqrt {x + 1} \end{array} \right.$

Đề bài: Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l}
{y^4} - 2x{y^2} + 7{y^2} =  - {x^2} + 7x + 8\\
\sqrt {3{y^2} + 13}  - \sqrt {15 - 2x}  = \sqrt {x + 1}
\end{array} \right.$
Giải:
Ta có: $\ {y^4} - 2x{y^2} + 7{y^2} =  - {x^2} + 7x + 8 \Leftrightarrow {\left( {{y^2} - x} \right)^2} + 7\left( {{y^2} - x} \right) - 8 = 0.$

Cho x, y, u, v thỏa mãn $\ \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 16\\ {u^2} + {v^2} = 25\\ xu + yv \ge 20 \end{array} \right.$ Tìm Max của P = x + v

Đề bài: Cho các số thực x, y, u, v thỏa mãn $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 16\\
{u^2} + {v^2} = 25\\
xu + yv \ge 20
\end{array} \right.$ Tìm Max của  P = x + v
Giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:$\ {20^2} \le \left( {xu + yv} \right) \le \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{u^2} + {v^2}} \right) \le 16.25 = 400.$

Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn: $\ {x_1} + 2{x_2} = 1.$

Đề bài: Cho hàm số $\ y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + \frac{1}{3}.$ Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn: $\ {x_1} + 2{x_2} = 1.$
Giải:

Tìm Min của $\ P = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)\left( {1 + \frac{1}{z}} \right).$

Đề bài: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm Min của $\ P = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)\left( {1 + \frac{1}{z}} \right).$
Giải: