Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l} {y^4} - 2x{y^2} + 7{y^2} = - {x^2} + 7x + 8\\ \sqrt {3{y^2} + 13} - \sqrt {15 - 2x} = \sqrt {x + 1} \end{array} \right.$

Đề bài: Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l} {y^4} - 2x{y^2} + 7{y^2} =  - {x^2} + 7x + 8\\ \sqrt {3{y^2} + 13}  - \sqrt {15 - 2x}  = \sqrt {x + 1} \end{array} \right.$
Giải:
Ta có: $\ {y^4} - 2x{y^2} + 7{y^2} =  - {x^2} + 7x + 8 \Leftrightarrow {\left( {{y^2} - x} \right)^2} + 7\left( {{y^2} - x} \right) - 8 = 0.$

$\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {y^2} - x = 1\\ {y^2} - x =  - 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {y^2} = x + 1\\ {y^2} = x - 8 \end{array} \right.$

• Xét $\ {y^2} = x + 1 \Rightarrow \sqrt {3\left( {x + 1} \right) + 13}  = \sqrt {15 - 2x}  + \sqrt {x + 1} .$$\  \Leftrightarrow \sqrt {3x + 16}  = \sqrt {15 - 2x}  + \sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = \sqrt { - 2{x^2} + 13x + 15} \\x \ge 0\end{array} \right.$ $\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6{x^2} - 13x - 15 = 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3;y =  \pm 2.$

•  Xét $\ {y^2} = x - 8 \Rightarrow \sqrt {3\left( {x - 8} \right) + 13}  = \sqrt {15 - 2x}  + \sqrt {x + 1} .$$\  \Leftrightarrow \sqrt {3x - 11}  = \sqrt {15 - 2x}  + \sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 27 = \sqrt { - 2{x^2} + 13x + 15} \\x \ge 8\end{array} \right.$$\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}24{x^2} - 268x + 669 = 0\\x \ge 8\end{array} \right. \Leftrightarrow V{N_0}.$

                                     Vậy HPT có nghiệm $\ S = \left\{ {\left( {3; \pm 2} \right)} \right\}.$