Chứng minh: $\ \frac{{\sqrt {2{a^2} + {b^2}} }}{{ab}} + \frac{{\sqrt {2{b^2} + {c^2}} }}{{bc}} + \frac{{\sqrt {2{c^2} + {a^2}} }}{{ac}} \ge \sqrt 3 .$

Đề bài: Cho các số a, b, c thỏa mãn $\ \left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ ab + bc + ca = abc \end{array} \right.$
CMR: $\ \frac{{\sqrt {2{a^2} + {b^2}} }}{{ab}} + \frac{{\sqrt {2{b^2} + {c^2}} }}{{bc}} + \frac{{\sqrt {2{c^2} + {a^2}} }}{{ac}} \ge \sqrt 3 .$
Giải:
Ta có: $\ ab + bc + ca = abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.$

Và $\ VT = \sqrt {\frac{{2{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}}  + \sqrt {\frac{{2{b^2} + {c^2}}}{{{b^2}{c^2}}}}  + \sqrt {\frac{{2{c^2} + {a^2}}}{{{c^2}{a^2}}}}  = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{b^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{{b^2}}} + \frac{2}{{{c^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}}} .$
Đặt: $\ x = \frac{1}{a};y = \frac{1}{b};z = \frac{1}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x;y;z > 0\\ x + y + z = 1 \end{array} \right.$ Khi đó: $\ VT = \sqrt {{x^2} + 2{y^2}}  + \sqrt {{y^2} + 2{z^2}}  + \sqrt {{z^2} + 2{x^2}} .$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxkia ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + 2{y^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {y^2}}  \ge \frac{{x + 2y}}{{\sqrt 3 }}\\ \sqrt {{y^2} + 2{z^2}}  = \sqrt {{y^2} + {z^2} + {z^2}}  \ge \frac{{y + 2z}}{{\sqrt 3 }}\\ \sqrt {{z^2} + 2{x^2}}  = \sqrt {{z^2} + {x^2} + {x^2}}  \ge \frac{{z + 2x}}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right. \Rightarrow VT \ge \frac{3}{{\sqrt 3 }}\left( {x + y + z} \right) = \sqrt 3 .$
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\ x = y = z = \frac{1}{3}.$