Processing math: 100%

Thứ Ba, 17 tháng 9, 2013

Cho x, y, u, v thỏa mãn \ \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 16\\ {u^2} + {v^2} = 25\\ xu + yv \ge 20 \end{array} \right. Tìm Max của P = x + v

Đề bài: Cho các số thực x, y, u, v thỏa mãn \ \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 16\\ {u^2} + {v^2} = 25\\ xu + yv \ge 20 \end{array} \right. Tìm Max của  P = x + v
Giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:\ {20^2} \le \left( {xu + yv} \right) \le \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{u^2} + {v^2}} \right) \le 16.25 = 400.

Vậy dấu "=" xảy ra nên ta có: \ \frac{x}{u} = \frac{y}{v} \Leftrightarrow xv = yu.
Mặt khác, \ 41 = 16 + 25 = {x^2} + {y^2} + {u^2} + {v^2} \ge {x^2} + {v^2} + 2uy = {x^2} + {v^2} + 2xv = {\left( {x + v} \right)^2}.
\  \Rightarrow P = x + v \le \sqrt {41}  \Rightarrow Max\,P = \sqrt {41} .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 16\\ {u^2} + {v^2} = 25\\ xv = yu\\ u = y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{16}}{{\sqrt {41} }};\,y = \frac{{25}}{{\sqrt {41} }}\\ u = y = \frac{{20}}{{\sqrt {41} }} \end{array} \right.

Không có nhận xét nào: