Cho x, y, u, v thỏa mãn $\ \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 16\\ {u^2} + {v^2} = 25\\ xu + yv \ge 20 \end{array} \right.$ Tìm Max của P = x + v

Đề bài: Cho các số thực x, y, u, v thỏa mãn $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 16\\
{u^2} + {v^2} = 25\\
xu + yv \ge 20
\end{array} \right.$ Tìm Max của  P = x + v
Giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:$\ {20^2} \le \left( {xu + yv} \right) \le \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{u^2} + {v^2}} \right) \le 16.25 = 400.$

Vậy dấu "=" xảy ra nên ta có: $\ \frac{x}{u} = \frac{y}{v} \Leftrightarrow xv = yu.$
Mặt khác, $\ 41 = 16 + 25 = {x^2} + {y^2} + {u^2} + {v^2} \ge {x^2} + {v^2} + 2uy = {x^2} + {v^2} + 2xv = {\left( {x + v} \right)^2}.$
$\  \Rightarrow P = x + v \le \sqrt {41}  \Rightarrow Max\,P = \sqrt {41} .$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 16\\
{u^2} + {v^2} = 25\\
xv = yu\\
u = y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{16}}{{\sqrt {41} }};\,y = \frac{{25}}{{\sqrt {41} }}\\
u = y = \frac{{20}}{{\sqrt {41} }}
\end{array} \right.$