Tìm Min của $\ P = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)\left( {1 + \frac{1}{z}} \right).$

Đề bài: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm Min của $\ P = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)\left( {1 + \frac{1}{z}} \right).$
Giải:

Ta có: $\ P = 1 + \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) + \left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right) + \frac{1}{{xyz}}.$
Áp dụng BĐT Côsi ta có:$\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}}\\
\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}}}
\end{array} \right.$
Khi đó: $\ P \ge 1 + \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}} + \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}}} + \frac{1}{{xyz}} = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{xyz}}}}} \right)^3}.$
Mặt khác, lại theo BĐT Côsi ta lại có:
$\ \frac{1}{3} = \frac{{x + y + z}}{3} \ge \sqrt[3]{{xyz}} \Rightarrow \sqrt[3]{{xyz}} \le \frac{1}{3} \Rightarrow P \ge {\left( {1 + 3} \right)^3} = 64.$
VậyMin P = 64 $ \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}.$