Đề bài: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm Min của \ P = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)\left( {1 + \frac{1}{z}} \right).
Giải:
Ta có: \ P = 1 + \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) + \left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right) + \frac{1}{{xyz}}.
Áp dụng BĐT Côsi ta có:\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}}\\
\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}}}
\end{array} \right.
Khi đó: \ P \ge 1 + \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}} + \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}}} + \frac{1}{{xyz}} = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{xyz}}}}} \right)^3}.
Mặt khác, lại theo BĐT Côsi ta lại có:
\ \frac{1}{3} = \frac{{x + y + z}}{3} \ge \sqrt[3]{{xyz}} \Rightarrow \sqrt[3]{{xyz}} \le \frac{1}{3} \Rightarrow P \ge {\left( {1 + 3} \right)^3} = 64.
VậyMin P = 64 \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}.
------Cứ mỗi giáo viên tha hóa biến chất thì đâu đó vẫn có những con người tận tâm tận lực và hết lòng vì học sinh------==============Bị chối bỏ, Tôi quyết tâm trở thành người thầy mà tôi chưa bao giờ có được!==============
Lịch sử các nhà toán học
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
2 nhận xét:
Nếu thay x=y=z=1/3 vào thì P đâu ra 64/27 đâu
Có chút nhầm lẫn trong tính toán em ah...Số 1/3 phải lộn lên, thầy bị nhầm. Thầy đã sửa lại rồi.
Thầy cảm ơn em!
Đăng nhận xét