Loading web-font TeX/Math/Italic

Thứ Ba, 17 tháng 9, 2013

Tìm Min của \ P = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)\left( {1 + \frac{1}{z}} \right).

Đề bài: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm Min của \ P = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)\left( {1 + \frac{1}{z}} \right).
Giải:

Ta có: \ P = 1 + \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) + \left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right) + \frac{1}{{xyz}}.
Áp dụng BĐT Côsi ta có:\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}}\\ \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}}} \end{array} \right.
Khi đó: \ P \ge 1 + \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}} + \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}}} + \frac{1}{{xyz}} = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{xyz}}}}} \right)^3}.
Mặt khác, lại theo BĐT Côsi ta lại có:
\ \frac{1}{3} = \frac{{x + y + z}}{3} \ge \sqrt[3]{{xyz}} \Rightarrow \sqrt[3]{{xyz}} \le \frac{1}{3} \Rightarrow P \ge {\left( {1 + 3} \right)^3} = 64.
VậyMin P = 64 \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}.


2 nhận xét:

Nặc danh nói...

Nếu thay x=y=z=1/3 vào thì P đâu ra 64/27 đâu

Trịnh Hào Quang nói...

Có chút nhầm lẫn trong tính toán em ah...Số 1/3 phải lộn lên, thầy bị nhầm. Thầy đã sửa lại rồi.
Thầy cảm ơn em!