Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ x\left( {5{x^2} + y} \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + y} \right)}^3}} \,\,\,(2) \end{array} \right.$

Đề bài: Giải HPT $\ \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ x\left( {5{x^2} + y} \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + y} \right)}^3}} \,\,\,(2) \end{array} \right.$
Giải:
Ta có:$\ (2) \Leftrightarrow 4{x^3} + x\left( {{x^2} + y} \right) - \sqrt {{{\left( {{x^2} + y} \right)}^3}}  = 0\,\,\,.$ (*)

Xét x = 0 và y = 0 khi đó không thỏa mãn nên $\ \sqrt {{{\left( {{x^2} + y} \right)}^3}}  \ne 0\,\,\,.$
Chia cả 2 vế của (*) cho $\ \sqrt {{{\left( {{x^2} + y} \right)}^3}}$ ta được:$\ {4{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + y} }}} \right)}^3} + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + y} }} - 1 = 0}.$
$\ { \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + y} }}}\\ {4{t^3} + t - 1 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow t = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + y} }} = \frac{1}{2}}.$
Khi đó: $\ {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + y} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4{x^2} = {x^2} + y \Leftrightarrow y = 3{x^2}}.$ Thay vào (1) ta có:
$\ \left\{ \begin{array}{l} y = 3{x^2}\\ {x^3} + 3{x^2} - 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\\ \left( {x;y} \right) = \left( { - 2;12} \right) \end{array} \right.$
                                   Thử lại ta thấy HPT có nghiệm $\ \;S = \left\{ {\left( {1;3} \right)} \right\}.$