Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp Thể Tích.

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $\ AB = a;\,\,AD = a\sqrt 3 $. M là trung điểm của AB. H là giao điểm của DM và AC. $\ SH = a\sqrt 6 $ là chiều cao của hình chóp.
Tính khoảng cách từ H đến (SAD)?
Giải:

Trong tam giác ABD có $\ \left\{ \begin{array}{l}
OB = OD\\
MA = MB\\
AO \cap DM = \left\{ H \right\}
\end{array} \right.$

$\  \Rightarrow H$ là trọng tâm tam giác ABD.
$\  \Rightarrow \frac{{AH}}{{AO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{CH}}{{CA}} = \frac{2}{3}.$
Áp dụng CT tỷ số thể tích ta có:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{V_{H.SAD}}}}{{{V_{C.SAD}}}} = \frac{{CH}}{{CA}}.\frac{{CD}}{{CD}}.\frac{{CS}}{{CS}} = \frac{2}{3}\\
{V_{C.SAD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{6}.SH.AB.AD = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.$
$\  \Rightarrow {V_{H.SAD}} = \frac{2}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.$
Mặt khác ta lại có: $\ {V_{H.SAD}} = \frac{1}{3}.d\left[ {H \to \left( {SAD} \right)} \right].{S_{\Delta SAD}}.$
Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của H lên AD và AB. Khi đó:
$\ \left. \begin{array}{l}
SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AD\\
HN \bot AD
\end{array} \right\} \Rightarrow AD \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow AD \bot SN.$
$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S_{\Delta SAD}} = \frac{1}{2}SN.AD = \frac{1}{2}AD.\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} \\
HN = \frac{{AB}}{3} = \frac{a}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow {S_{\Delta SAD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt {6{a^2} + \frac{{{a^2}}}{9}}  = \frac{{{a^2}\sqrt {165} }}{6}.$
                              Vậy $\ d\left[ {H \to \left( {SAD} \right)} \right] = \frac{{3{V_{H.SAD}}}}{{{S_{\Delta SAD}}}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{\frac{{{a^2}\sqrt {165} }}{6}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt {55} }}.$