Đề bài: (Bài BPT nhiều bạn hỏi)
Giải bất phương trình sau: \ 2\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} < 1 + \frac{{{x^3} - 36}}{{\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}}}}.
Giải:
Đặt \ t = \sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} \Rightarrow t > 0\left( {2{x^2} - x + 36 > 0} \right).
Khi đó ta có: \ \left\{ \begin{array}{l}
2t < 1 + \frac{{{x^3} - 36}}{t}\\
{t^3} = 2{x^2} - x + 36
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 36 > 2{t^2} - t\\
{t^3} - 36 = 2{x^2} - x
\end{array} \right.
Trừ từng vế với nhau ta có: \ \left( {x - t} \right)\left( {{x^2} + tx + {t^2}} \right) > 2\left( {t - x} \right)\left( {t + x} \right) - \left( {t - x} \right).
\ \Leftrightarrow \left( {x - t} \right)\left[ {{x^2} + tx + {t^2} + 2\left( {t + x} \right) - 1} \right] > 0.
\ t = \sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} = \sqrt[3]{{{{\left( {x\sqrt 2 - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + \frac{{287}}{8}}} > \sqrt[3]{{\frac{{216}}{8}}} = 3.
Xét hàm: \ f\left( t \right) = {t^3} - 36 \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} > 0\left( {t > 3} \right) \Rightarrow . Hàm f(t) đồng biến.
Khi đó ta có: \ f\left( t \right) = {x^3} - 36 > f\left( 3 \right) = 15 \Leftrightarrow x > 3.
Khi \ t > 3;\,x > 3 \Rightarrow {x^2} + tx + {t^2} + 2\left( {t + x} \right) - 1 > 9 + 9 + 9 + 12 - 1 > 0.
Vậy ta có: \ x > t \Leftrightarrow {x^3} > {t^3} \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x - 36 > 0.
\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 2x + 9} \right) > 0 \Leftrightarrow x > 4.
Vậy x > 4 là kết quả cần tìm.
------Cứ mỗi giáo viên tha hóa biến chất thì đâu đó vẫn có những con người tận tâm tận lực và hết lòng vì học sinh------==============Bị chối bỏ, Tôi quyết tâm trở thành người thầy mà tôi chưa bao giờ có được!==============
Lịch sử các nhà toán học
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét