Giải bất phương trình sau: $\ 2\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} < 1 + \frac{{{x^3} - 36}}{{\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}}}}.$

Đề bài: (Bài BPT nhiều bạn hỏi)
Giải bất phương trình sau: $\ 2\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} < 1 + \frac{{{x^3} - 36}}{{\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}}}}.$
Giải:
Đặt $\ t = \sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} \Rightarrow t > 0\left( {2{x^2} - x + 36 > 0} \right).$

Khi đó ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
2t < 1 + \frac{{{x^3} - 36}}{t}\\
{t^3} = 2{x^2} - x + 36
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 36 > 2{t^2} - t\\
{t^3} - 36 = 2{x^2} - x
\end{array} \right.$
Trừ từng vế với nhau ta có: $\ \left( {x - t} \right)\left( {{x^2} + tx + {t^2}} \right) > 2\left( {t - x} \right)\left( {t + x} \right) - \left( {t - x} \right).$
$\  \Leftrightarrow \left( {x - t} \right)\left[ {{x^2} + tx + {t^2} + 2\left( {t + x} \right) - 1} \right] > 0.$
$\ t = \sqrt[3]{{2{x^2} - x + 36}} = \sqrt[3]{{{{\left( {x\sqrt 2  - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + \frac{{287}}{8}}} > \sqrt[3]{{\frac{{216}}{8}}} = 3.$
Xét hàm: $\ f\left( t \right) = {t^3} - 36 \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} > 0\left( {t > 3} \right) \Rightarrow .$ Hàm f(t) đồng biến.
Khi đó ta có: $\ f\left( t \right) = {x^3} - 36 > f\left( 3 \right) = 15 \Leftrightarrow x > 3.$
Khi $\ t > 3;\,x > 3 \Rightarrow {x^2} + tx + {t^2} + 2\left( {t + x} \right) - 1 > 9 + 9 + 9 + 12 - 1 > 0.$
Vậy ta có: $\ x > t \Leftrightarrow {x^3} > {t^3} \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x - 36 > 0.$
$\  \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 2x + 9} \right) > 0 \Leftrightarrow x > 4.$
                                         Vậy x > 4 là kết quả cần tìm.